Супереліпс

Супереліпси (криві Ламе)

Шаблон:UniboxСупереліпс (крива Ламе) — плоска крива, що у декартових координатах описується рівнянням:

${\left|\frac{x}{a}\right|}^n+{\left|\frac{y}{b}\right|}^n=1,$

де $n>0$;

$a$ і $b$ — радіуси (півосі) супереліпса.

Для випадку n = 2 отримуємо еліпс (у частковому випадку, при a = b — коло), а при $n=1$ — ромб з діагоналями $2a$ та $2b$. Коли збільшувати $n$ до нескінченості, крива прямує за формою до прямокутника; натомість коли $n$ прямує до нуля, крива набуває хрестоподібної форми.

Фігури, що отримані для n < 2 ще називають «гіпоеліпс», а для n > 2 — «гіпереліпс».

• 
• 
• 
• 

Супереліпс може бути описаний парою рівнянь в параметричній формі:

$\begin{array}{cc}x\left(\theta \right)& =\pm a{\cos }^{\frac{2}{n}}\theta \\ y\left(\theta \right)& =\pm b{\sin }^{\frac{2}{n}}\theta \end{array}\}0\le \theta <\frac{\pi }{2}$

або

$\begin{array}{cc}x\left(\theta \right)& ={|\cos \theta |}^{\frac{2}{n}}\cdot a\mathrm{sgn}(\cos \theta )\\ y\left(\theta \right)& ={|\sin \theta |}^{\frac{2}{n}}\cdot b\mathrm{sgn}(\sin \theta ).\end{array}$

Площа супереліпса виражається формулою

$S=4ab\frac{{\left(\mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{n})\right)}^2}{\mathrm{\Gamma }(1+\frac{2}{n})}.$

Історична довідка

Транспортна розв'язка на площі Сергельсторг у центрі Стокгольма

Криві вперше були записані і вивчені французьким математиком Габрієлем Ламе, тому їх ще називають «криві Ламе».

Популяризацією цих кривих в архітектурі та при проектуванні предметів щоденного вжитку займався данський вчений, письменник, винахідник та інженер Піт Хейн (Шаблон:Lang-da; 1905—1996). У 1959 році архітектурне управління Стокгольма оголосило конкурс на проектування перехрестя з коловим рухом навколо площі Сергельсторг. Піт Хейн став переможцем конкурсу з пропозицією реалізувати транспортне кільце у вигляді супереліпса з n = 2,5 та a/b = 6/5. Реконструкцію площі було закінчено у 1967 році. Хейн використовував супереліпс в інших дизайнерських розробках — ліжках, тарілках, столах. При обертанні супереліпса навколо довгої осі, він отримав «суперяйце», яке стало популярною іграшкою за свою здатність на відміну від звичного яйця стояти вертикально на плоскій поверхні.

У 1968 році, коли делегації на переговорах в Парижі по війні у В'єтнамі не могли прийти до згоди щодо форми стола, було запропоновано стіл у вигляді супереліпса. Супереліптичну форму має стадіон «Ацтека» в Мехіко, головний стадіон Олімпійських ігор 1968 року.

На логотипі футбольної команди «Піттсбург Стілерс» зображені три чотирикутних зірки, що є супереліпсами з n = 0,5.

Узагальнення

Супереліпс може розглядатись як частковий випадок суперформули, записаної у 1997 році бельгійським вченим Йоханом Джилісом (Шаблон:Lang-en). Тривимірним відповідником супереліпса є Шаблон:Не перекладено (Шаблон:Lang-en). В частковому випадку, коли a = b = 1 та n парне ціле число, супереліпс є кривою Ферма степеня n.

Див. також

• Астроїда — супереліпс з n = 2/3 і a = b, гіпоциклоїда з чотирма кутами.
  • Дельтоїда — трикутна гіпоциклоїда.
• Сквиркл — супереліпс n = 4 і a = b, що виглядає як «чотирикутне колесо».
  • Трикутник Рело — «трикутне колесо».

Посилання

• Супереліпс Шаблон:Webarchive Шаблон:Ref-en в енциклопедії MathWorld