Стична площина

У математиці, особливо в диференціальній геометрії, стична площина (Шаблон:Lang-en) є площиною в евклідовому або в афінному просторі, яка стикається з підмноговидом у точці таким чином, щоб був дотик другого порядку в цій точці.

Дотична площина в евклідовому просторі може бути описана в термінах формул Френе-Серрі як лінійна оболонка дотичного і нормального векторів.

Стична площина кривої

У евклідовому просторі, площина π називається стичною площиною кривої в точці P, якщо

\lim_{Q \to P} \frac{h}{d^{2}} = 0,

де Q — точка на кривій, d — відстань від точки Q до площини πШаблон:Sfn.

Відомо, що у кожній точці C²-регулярної кривої існує стична площина. Якщо для радіус-вектора $r$ кривої, вектори $r^{'}$ і $r^{″}$ в точці P не колінеарні, то стична площина єдина. В іншому випадку, будь-яка площина, що проходить через дотичну в точці P, є стичною в цій точці.

Нехай крива задається радіус-вектором $r (t)$ . Точці P відповідає значення параметру $t = t_{0}$ . Тоді вектором нормалі стичної площини в точці P буде вектор $r^{'} (t_{0}) \times r^{″} (t_{0})$ , а рівняння стичної площини буде

⟨ R - r (t_{0}), r^{'} (t_{0}) \times r^{″} (t_{0}) ⟩ = 0

або

(R - r (t_{0}), r^{'} (t_{0}), r^{″} (t_{0})) = 0 .

В координатному вигляді рівняння стичної площини до кривої, заданої параметричним рівнянням $r (t) = (x (t), y (t), z (t))$ , у точці $(x (t_{0}), y (t_{0}), z (t_{0}))$ має вигляд:

| \begin{matrix} X - x (t_{0}) & Y - y (t_{0}) & Z - z (t_{0}) \\ x^{'} (t_{0}) & y^{'} (t_{0}) & z^{'} (t_{0}) \\ x^{″} (t_{0}) & y^{″} (t_{0}) & z^{″} (t_{0}) \end{matrix} | = 0

Примітки

Шаблон:Reflist

Див. також

Стичне коло

Джерела

Стична площина

Зміст