Список границь

Це список границь для поширених функцій.

Поліноми та функції вигляду x^a

• $\underset{x\to c}{\lim }a=a$ для всіх $c,a\in ℝ$.

Поліноми

• $\underset{x\to c}{\lim }x=c$ для всіх $c\in ℝ$;
• $\underset{x\to c}{\lim }(ax+b)=ac+b$ для всіх $a,b,c\in ℝ$;
• $\underset{x\to c}{\lim }{x}^n=c^n$ для всіх $n\in \mathbb{N}$, $c\in ℝ$;
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x/a=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& a>0\\ \text{не існує},& a=0\\ -\mathrm{\infty },& a<0\end{array}$ для всіх $a\in ℝ$.

Загалом, якщо $p(x)$ є поліномом, то за неперервністю поліномів

$\underset{x\to c}{\lim }p(x)=p(c)$.

Це також справедливо для раціональних функцій, оскільки вони неперервні у своїй області визначення.

Функції вигляду x^a

• $\underset{x\to c}{\lim }{x}^a=c^a$. Зокрема
  • $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^a=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& a>0\\ 1,& a=0\\ 0,& a<0\end{array}$
• $\underset{x\to c}{\lim }{x}^{1/a}=c^{1/a}$. Зокрема
  • $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^{1/a}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[a]{x}=\mathrm{\infty }$ для будь-якого $a>0$
• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{-n}=\lim \frac{1}{x^n}=+\mathrm{\infty }$
• $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }{x}^{-n}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x^n}=\{\begin{array}{cc}-\mathrm{\infty },& n\text{ - непарне}\\ +\mathrm{\infty },& n\text{ - парне}\end{array}$
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }a{x}^{-1}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }a/x=0$ для довільного $a\in ℝ$.

Експоненціальні функції

Функції вигляду a^g(x)

• $\underset{x\to c}{\lim }{e}^x=e^c$;
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& a>1\\ 1,& a=1\\ 0,& 0<a<1\end{array}$;
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^{-x}=\{\begin{array}{cc}0,& a>1\\ 1,& a=1\\ \mathrm{\infty },& 0<a<1\end{array}$;
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[x]{a}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^{1/x}=\{\begin{array}{cc}1,& a>0\\ 0,& a=0\\ \text{не існує},& a<0\end{array}$.

Функції вигляду x^g(x)

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[x]{x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^{1/x}=1$.

Функції вигляду f(x)^g(x)

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x=\underset{x\to 0}{\lim }{(1+x)}^{\frac{1}{x}}=e$ — друга чудова границя;
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1-\frac{1}{x})}^x=\frac{1}{e}$;
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{k}{x})}^{mx}=\underset{x\to 0}{\lim }{(1+kx)}^{\frac{m}{x}}=e^{mk}$;
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{x}{x+k}\right)}^x=e^{-k}$;
• $\underset{x\to 0}{\lim }{(1+a\left(e^{-x}-1\right))}^{-\frac{1}{x}}=e^a$.

Частки, добутки та композити

• $\underset{x\to 0}{\lim }x{e}^{-x}=0$;
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x{e}^{-x}=0$;
• $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{a^x-1}{x}\right)=\ln a$ для всіх $a>0$;
• $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{e^x-1}{x}\right)=1$;
• $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{e^{ax}-1}{x}\right)=a$ для всіх $a>0$.

Логарифмічні функції

Натуральний логарифм

• $\underset{x\to c}{\lim }\ln x=\ln c$ для всіх $c>0$. Зокрема
  • $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\log x=-\mathrm{\infty }$,
  • $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\log x=+\mathrm{\infty }$.
• $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln (x)}{x-1}=1$;
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (x+1)}{x}=1$;
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\ln (1+a\left(e^{-x}-1\right))}{x}=a$ — виводиться за правилом Лопіталя;
• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=0$;
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\ln x}{x}=0$.

Логарифми з довільною основою

Для b > 1,

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{b}x=-\mathrm{\infty }$,
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{b}x=\mathrm{\infty }$.

Для b < 1,

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{b}x=\mathrm{\infty }$,
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{b}x=-\mathrm{\infty }$.

Для обох випадків можна узагальнити:

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{b}x=-F(b)\mathrm{\infty }$,
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{b}x=F(b)\mathrm{\infty }$,

де $F(x)=2H(x-1)-1$ і $H(x)$ — функція Гевісайда.

Тригонометричні функції

• $\underset{x\to a}{\lim }\sin x=\sin a$
• $\underset{x\to a}{\lim }\cos x=\cos a$

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ — перша чудова границя. Узагальнення:
  • $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin ax}{ax}=1$ при $a\ne 0$,
  • $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin ax}{x}=a$ для всіх $a\in ℝ$,
  • $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin ax}{bx}=\frac{a}{b}$ при $b\ne 0$.

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x\sin \left(\frac{1}{x}\right)=1$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x}=0$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$
• $\underset{x\to n^{\pm }}{\lim }\mathrm{tg}(\pi x+\frac{\pi }{2})=\mp \mathrm{\infty }$ для всіх $n\in \mathbb{Z}$.
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n}{\underbrace{\sin \sin \cdots \sin (x_0)}}=0$, де $x_0\in ℝ$ — довільне.
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n}{\underbrace{\cos \cos \cdots \cos (x_0)}}=d$, де $d$ — Шаблон:Не перекладено, $x_0\in ℝ$ — довільне.

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр