Рівняння Паулі

Шаблон:Фізична теорія Рівняння Паулі або рівняння Паулі-Шредінгера — нерелятивістське рівняння руху квантової частинки зі спіном 1/2 в електромагніному полі.

Рівняння Паулі є узагальненням рівняння Шредінгера для частинок зі спіном. Водночас воно не є Лоренц-інваріантним. Відповідне Лоренц-інваріантне квантовомеханічне рівняння — рівняння Дірака.

$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=\hat{H}\psi =[\frac{1}{2m}(\widehat{𝐩}-\frac{e}{c}𝐀{)}^2\hat{I}+e\phi \hat{I}-\frac{e\hslash }{2mc}(\hat{\sigma }\cdot 𝐁)]\psi$

де спінор $\psi$ — описує квантову частинку, наприклад, електрон, $\hat{H}$ — гамільтоніан, $\widehat{𝐩}=-i\hslash \mathrm{\nabla }$ — оператор імпульсу, $𝐀$ — векторний потенціал, $𝐁$ — вектор магнітної індукції, $\phi$ — електричний потенціал, $\hat{\sigma }$ — матриці Паулі, $\hat{I}$ — одинична матриця, $m$ — маса частинки, e — її заряд, $\hslash$ — зведена стала Планка, c — швидкість світла.

Рівняння вперше записав Вольфганг Паулі.

Область застосування

Рівняння Паулі успішно описує квантові системи, для яких несуттєва спін-орбітальна взаємодія, зокрема вільні електрони, легкі атоми. Для важких атомів спін-орбітальну взаємодію слід враховувати, тому вони коректно описуються складнішим рівнянням Дірака.

Приклади

Частинка в стаціонарному магнітному полі

Частинка в стаціонарному однорідному магнітному полі описується рівнянням

$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}={\hat{H}}_0\psi -{\mu }_0{\hat{\sigma }}_{z}B\psi$,

де ${\hat{H}}_0$ — незалежний від спіну гамільтоніан, система координат вибрана так, щоб вісь z збігалася з напрямком магнітного поля, і введено позначення

${\mu }_0=\frac{e\hslash }{2mc}$ — магнетон Бора.

Зважаючи на діагональність ${\hat{\sigma }}_z$, це рівняння матричне розпадається на два скалярні

$i\hslash \frac{\partial {\psi }_1}{\partial t}={\hat{H}}_0{\psi }_1-{\mu }_{0}B{\psi }_1$,

$i\hslash \frac{\partial {\psi }_2}{\partial t}={\hat{H}}_0{\psi }_2+{\mu }_{0}B{\psi }_2$,

які відрізняються знаком перед магнетоном Бора.

Відповідно, кожному власному значенню $E_{0n}$ гамільтоніану ${\hat{H}}_0$ відповідаються два власні значення гамільтоніану $\hat{H}$, один зі спіном «угору», другий зі спіном «униз». Енергії цих станів дорівнюють

$E_{n\uparrow }=E_{n0}-{\mu }_{0}B,E_{n\downarrow }=E_{n0}+{\mu }_{0}B,$.

Джерела

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга