Рівняння Вольтерри

Інтегральні рівняння Вольтерри — інтегральні рівняння спеціального виду. Названо на честь італійського математика Віто Вольтерра.

Класифікація

Розрізняють рівняння Вольтерри двох типів:

• лінійне першого роду

$f(t)=\underset{a}{\overset{t}{\int }}K(t,s)x(s)ds$

• лінійне другого роду

$x(t)=f(t)+\lambda \underset{a}{\overset{t}{\int }}K(t,s)x(s)ds,$

де $f(t),K(t,s)$ — відомі функції, $x(t)$ — функція, яку потрібно знайти, $\lambda$ — комплексний параметр.

$K(t,s)$ називають ядром інтегрального рівняння, $f(t)$ — вільним членом. Рівняння Вольтерри можна розглядати як окремий випадок рівняння Фредгольма, але через низку специфічних властивостей такі рівняння вивчають окремоШаблон:Sfn.

Розв'язання

Всяке рівняння Вольтерри з неперервним ядром при довільному комплексному параметрі ( $\lambda \ne \mathrm{\infty }$ ) має єдиний розв'язок, що представляється у вигляді рівномірно збіжного ряду Неймана

$x(t)=x_0(t)+\lambda x_1(t)+{\lambda }^2{x}_2(t)+...,$

де

$x_0(t)=f(t),x_i(t)=\underset{a}{\overset{t}{\int }}K(t,s)x_{i-1}(s)ds.$

Див. також

• Інтегральне рівняння Абеля
• Рівняння Лотки — Вольтерри

Джерела

• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції
• Шаблон:Публікація
• Физическая энциклопедия. Т.1. Гл.ред. А.М.Прохорова. М.Сов.энциклопедия. 1988.- 704с.