Інтегральне рівняння Абеля

Інтегральне рівняння Абеля — інтегральне рівняння вигляду

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\varphi (s)(x-s{)}^{-\frac{1}{2}}ds=f(x)$

де $f(x)$ — відома функція, $\varphi (x)$ — функція, яку потрібно знайти. Отримане і розв'язане Н. Абелем в 1823 при розгляді руху матеріальної точки у вертикальні площині під дією сили тяжіння, по деякій криві поверхні. Рівняння Абеля часто виникає при розв'язку обернених задач, наприклад з визначення потенціальної енергії за періодом коливань, чи при відновленні поля розсіяння за ефективним перерізом в класичній механіці. Це рівняння належить до класу рівнянь Вольтерра першого роду. Розглядають також узагальнене інтегральне рівняння Абеля

$\underset{a}{\overset{x}{\int }}\varphi (s)(x-s{)}^{-\alpha }ds=f(x)$,

де $0<\alpha <1,0<a$. Якщо $f(x)$ неперервно диференційовна функція, то рівняння має єдиний неперервний розв'язок

$\varphi (x)=\frac{\sin \pi \alpha }{\pi }\frac{d}{dx}\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{f(t)dt}{(x-t{)}^{1-\alpha }}$

В класі узагальнених функцій розв'язок існує при будь-яких $\alpha$

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Гельфанд И.М., Шилов Г.Е., Обобщенные функции и действия над ними, М., 1959
• Михлин С.Г. Лекции по линейним интегральним уравнениям, М., 1959
• Физическая энциклопедия. Т.1. Гл.ред. А.М.Прохоров. М. Сов.энциклопедия. 1988.