Робота (фізика)

Шаблон:Фізична величина Шаблон:Фізична теорія Робо́та у фізиці — скалярна фізична величина, що характеризує перетворення енергії одного виду на інший, яке відбувається в даній фізичній системі.

У механіці робота (механічна робота) — є мірою дії сили і залежить від величини, напряму цієї сили та переміщення точки її прикладання тобто вона визначає енергетичні витрати на переміщення фізичного тіла, чи його деформацію. Поняття «робота» широко застосовують також у термодинаміці та інших розділах фізики і у техніці.

Робота зазвичай позначається латинською літерою A (від Шаблон:Lang-de), в англомовній літературі — W (від Шаблон:Lang-en), і має розмірність енергії. У системі SI робота вимірюється в джоулях, у системі СГС — у ергах.

При малому переміщенні фізичного тіла $\delta 𝐥$ під дією сили $𝐅$ говорять, що над тілом здійснюється робота

$\delta A=𝐅\cdot \delta 𝐥=F\delta l\cos \theta$,

де $\theta$ — кут між напрямком сили й напрямком переміщення.

Згідно з цією формулою роботу здійснює тільки складник сили, що паралельний переміщенню. Сила, яка перпендикулярна переміщенню, роботи не здійснює.

У випадку, коли тіло рухається по криволінійному контуру C, для знаходження роботи потрібно проінтегрувати наведений вище вираз вздовж контуру:

$A=\underset{C}{\int }𝐅\cdot d𝐥$

Якщо сила $𝐅$ потенціальна, то робота залежить лише від різниці значень потенціалу в початковій і кінцевій точках і не залежить від форми траєкторії, по якій тіло рухалося між цими двома точками.

У термодинаміці при зміні об'єму тіла на величину $dV$ під дією тиску $P$ над тілом виконується робота

$dA=-pdV$.

Історія

Давньогрецьке розуміння фізики обмежувалося статикою простих механізмів (рівновагою сил) і не включало динаміку чи поняття роботи. В епоху Відродження динаміку механічних сил, як називали прості механізми, почали вивчати з точки зору того, наскільки високо вони можуть підняти вантаж, на додаток до сили, яку вони можуть розвинути, що зрештою привело до нової концепції механічної роботи. Повну динамічну теорію простих механізмів розробив 1600 року італійський учений Галілео Галілей у праці Про механіку (Le Meccaniche), в якій він показав математичну подібність машин як підсилювачів сили. Галілей першим пояснив, що прості механізми не створюють енергію, а лише перетворюють її.

Ранні концепції роботи

Хоча термін робота не використовували до 1826 року, подібні концепції існували й раніше. Це саме поняття називали момент дії, кількість дії, прихована жива сила, динамічний ефект, ефективність і навіть сила. 1637 року французький філософ Рене Декарт писав: Шаблон:Blockquote1686 року німецький філософ Готфрід Лейбніц писав:Шаблон:Blockquote 1759 року Джон Смітон описав величину, яку він назвав «потужністю» «для позначення напруги сили, гравітації, імпульсу або тиску, щоб викликати рух» (Шаблон:Lang-en). Смітон продовжує, що цю величину можна обчислити, якщо «підняту вагу помножити на висоту, на яку її можна підняти за певний час», що робить це визначення надзвичайно схожим на визначення Коріоліса.

Етимологія та сучасне вживання

Термін робота (або механічна робота) і використання принципу роботи-енергії в механіці започаткували наприкінці 1820-х років незалежно французький математик Гаспар-Гюстав Коріоліс і французький професор прикладної механіки Жан-Віктор Понселе. Обидва вчені дотримувалися механічного підходу, придатного для вивчення динаміки та потужності машин, наприклад, парових двигунів, які піднімають відра з водою із затоплених рудних шахт. За словами Шаблон:Нп, французького інженера та історика, «ми завдячуємо терміном „робота“ в тому значенні, в якому він зараз використовується в механіці» Шаблон:Нп. Поняття віртуальної роботи та використання варіаційних методів у механіці передувало введенню поняття «механічна робота», але спочатку мало назву «віртуальний момент». Його перейменовано із прийняттям термінології Понселе й Коріоліса.

Одиниці вимірювання

Одиницею роботи в SI є джоуль (Дж), названий на честь англійського фізика Джеймса Прескотта Джоуля (1818—1889), визначений як робота, яку виконує сила 1 Н під час переміщення на 1 м у напрямку сили.

Іноді як одиницю вимірювання роботи використовують розмірнісно еквівалентний ньютон-метр (Н⋅м), але його можна сплутати з одиницею вимірювання моменту сили. Генеральна конференція мір і ваг не рекомендує використовувати Н⋅м, оскільки це може призвести до плутанини щодо того, чи величина, виражена в ньютон-метрах, характеризує момент сили, чи роботу.

Іншою одиницею вимірювання роботи є Шаблон:Нп, який походить із англійської системи мір. Як видно з назви одиниці, це добуток фунта як одиниці сили та фут як одиниці переміщення. Один джоуль приблизно дорівнює 0,7376 фут-фунтів.

До одиниць роботи, що не належать до SI, належать ньютон-метр, ерг, фут-фунт, Шаблон:Нп, кіловат-година, літр-атмосфера та Шаблон:Нп. Оскільки робота вимірюється в тих самих одиницях, що й кількість теплоти, іноді для роботи використовують одиниці вимірювання, зазвичай застосвувані для кількості теплоти або енергії, такі як Шаблон:Нп, британська теплова одиниця і калорія.

Робота і енергія

Робота Шаблон:Mvar виконана постійною силою величини Шаблон:Mvar над точкою, яка здійснила переміщення Шаблон:Mvar в напрямі дії сили, дорівнює добутку $$A=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{s}$$

Наприклад, якщо сила 10 ньютонів (Шаблон:Math) діє на точку, яка проходить 2 метри (Шаблон:Math), тоді Шаблон:Math. Це приблизно дорівнює роботі проти сили тяжіння, яку виконує людина, щоб підняти над головою від рівня землі тіло масою 1 кг.

Робота подвоюється, якщо підняти подвійний вантаж на ту саму висоту, або підяти той самий вантаж на вдвічі більшу висоту.

Робота тісно пов'язана з енергією. Енергія має ту саму одиницю вимірювання, що й робота (джоуль), оскільки енергія від тіла, яке виконує роботу, передається іншим тілам, з якими воно взаємодіє під час виконання роботи. Принцип роботи-енергії стверджує, що збільшення кінетичної енергії твердого тіла дорівнює величині додатної роботи рівнодійної сил, що діють на це тіло. І навпаки, зменшення кінетичної енергії дорівнює рівній за величиною від'ємній роботі рівнодійної сил, що діють на тіло. Таким чином, якщо сумарна робота додатна, то кінетична енергія тіла збільшується на величину роботи. Якщо сумарна виконана робота від'ємна, то кінетична енергія тіла зменшується на величину роботи.

З другого закону Ньютона можна показати, що робота над вільним (без полів), твердим (без внутрішніх ступенів вільності) тілом дорівнює зміні кінетичної енергії Шаблон:Math, що відповідає лінійній швидкості та кутовій швидкості цього тіла, $$A=\mathrm{\Delta }K.$$Робота сил, породжена потенціальною функцією, відома як потенціальна енергія, а сили називають консервативними. Отже, робота над тілом, яке переміщується в полі консервативних сил без зміни швидкості чи обертання, дорівнює взятій із протилежним знаком зміні потенціальної енергії Шаблон:Math тіла, $$A=-\mathrm{\Delta }U.$$Ці формули показують, що робота дорівнює енергії, пов'язаній із дією сили, тому робота має фізичну розмірність та одиниці енергії.

Розглянутий принципи роботи/енергії ідентичний принципу електричної роботи/енергії.

Сили реакції

Сили реакції визначають можливі переміщення тіла в системі, певним чином обмежуючи його. Наприклад, на похилій площині під дією сили тяжіння тіло притискається до поверхні, а тіло, надягнуте на натягнуту струну, не може рухатися перпендикулярно до неї, щоб зробити струну «натягнутішою».

У механічній системі в'язі унеможливлюють рух у напрямках сил реакції. Отже, віртуальна робота сил реакції дорівнює нулю. Це виконується лише за відсутності сил тертя.

Незмінні сили реакції без тертя не виконують роботи над системою оскільки кут між напрямами руху і сили реакції завжди становить 90°. Прикладами в'язей без виконання роботи є: жорсткі взаємозв'язки між частинками, ковзання по поверхні без тертя та кочення без ковзання.

Наприклад, у системі шківів, як-от машина Атвуда, внутрішні сили між мотузкою та опорним шківом не виконують роботи в системі. Тому роботу обчислюють лише для сил тяжіння, які діють на тіла. Іншим прикладом є доцентрова сила, яка діє на кульку до центра вздовж нитки і змушує її рівномірно рухатися по колу, обмежуючи її рух від центра кола. Ця сила виконує нульову роботу, оскільки вона перпендикулярна до швидкості кульки.

Сила Лоренца, що діє на заряджену частинку, дорівнює Шаблон:Math, де Шаблон:Mvar — заряд, Шаблон:Math — швидкість частинки, Шаблон:Math — магнітна індукція. Значення векторного добутку — вектор, завжди перпендикулярний до обох початкових векторів, тому Шаблон:Math. Скалярний добуток двох перпендикулярних векторів завжди дорівнює нулю, тому робота Шаблон:Math, а сила Лоренца не виконує роботи. Вона може змінити напрямок руху частинки, але ніколи не змінює швидкості.

Розрахунок

Для рухомих тіл величина робота/час (потужність) інтегрується вздовж траєкторії точки прикладання сили. Таким чином, у будь-який момент швидкість виконання роботи силою (вимірюється в джоулях за секунду або ватах), є скалярним добутком вектора сили і вектора швидкості точки її прикладання. Цей скалярний добуток сили та швидкості називають миттєвою потужністю. Подібно до того, як швидкості можна інтегрувати за часом, щоб отримати загальний шлях, згідно з формулою Ньютона — Ляйбніца, загальна робота вздовж шляху так само є інтегралом за часом миттєвої потужності, прикладеної вздовж траєкторії точки прикладання сили.

Робота є результатом дії сили на точку, яка рухається вздовж кривої Шаблон:Math зі швидкістю Шаблон:Math в кожен момент. Малу роботу Шаблон:Math, яка виконується протягом часу Шаблон:Math, розраховують як $$\delta A=𝐅\cdot d𝐬=𝐅\cdot 𝐯dt$$ де Шаблон:Math — потужність протягом часу Шаблон:Math. Сума цих малих значень роботи за траєкторією точки дає роботу, $$A=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}𝐅\cdot 𝐯dt=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}𝐅\cdot \frac{d𝐬}{dt}dt=\underset{C}{\int }𝐅\cdot d𝐬,$$де C — траєкторія від x(t₁) до x(t₂). Цей інтеграл обчислюється вздовж траєкторії частинки, і тому кажуть, що він залежить від форми траєкторії.

Якщо сила завжди спрямована вздовж цієї лінії, а величина сили Шаблон:Math, то цей інтеграл спрощується до $$A=\underset{C}{\int }Fds,$$де Шаблон:Mvar — переміщення. Якщо Шаблон:Math постійна, крім того, що вона спрямована вздовж прямої, то інтеграл спрощується далі $$A=\underset{C}{\int }Fds=F\underset{C}{\int }ds=Fs,$$де Шаблон:Mvar — переміщення точки.

Цей розрахунок можна узагальнити для постійної сили, яка не напрямлена вздовж прямої, якою рухається частинка. У цьому випадку скалярний добуток Шаблон:Math, де Шаблон:Mvar — кут між вектором сили та напрямком руху, тобто $$A=\underset{C}{\int }𝐅\cdot d𝐬=Fs\cos \theta .$$

Складова сили, перпендикулярна до переміщення тіла (наприклад, коли тіло рухається по коловій траєкторії під дією центральної сили), роботи не виконує, оскільки косинус 90° дорівнює нулю. Таким чином, гравітаційна сила не виконує роботи під час руху планети коловою орбітою (це ідеальний випадок, оскільки практично всі орбіти злегка еліптичні). Крім того, над тілом, яке рухається по колу з постійною швидкістю і обмежене механічною силою, робота не виконується (приклад — рух із постійною швидкістю в ідеальній центрифузі без тертя).

Робота змінної сили

Розрахунок роботи як «добутка сили й переміщення» застосовний лише в найпростіших обставинах, як зазначено вище. Якщо ж сила змінюється або якщо тіло рухається вздовж криволінійної траєкторії, наприклад, обертається, то для розрахунку виконаної роботи слід враховувати траєкторію точки прикладання сили, і лише складова сили, паралельна швидкості точки прикладання виконує роботу (додатна робота, коли напрямки збігаються, і від'ємна, коли протилежні). Цю складову сили можна описати скалярною величиною, яку називають скалярною тангенціальною складовою (Шаблон:Math, де Шаблон:Mvar — кут між силою та швидкістю). І тоді найзагальніше визначення роботи можна сформулювати так:

Площа під кривою чисельно дорівнює роботі F(x).

Шаблон:Block indentТаким чином, роботу змінної сили, можна виразити як визначений інтеграл сили за переміщенням.

Якщо залежність переміщення від часу задано як Шаблон:Mvar, то робота змінної сили за час від Шаблон:Mvar до Шаблон:Mvar дорівнює:

$$A=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}𝐅(t)\cdot 𝐯(t)dt=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}N(t)dt,$$де $N$ — потужність.

Отже, роботу змінної сили можна виразити як визначений інтеграл потужності за часом.

Крутний момент і обертання

Пара сил виникає внаслідок дії рівних протилежних сил на дві різні точки твердого тіла. Сума (рівнодійна) цих сил дорівнює нулю, але їх дія на тіло створює крутний момент M. Робота крутного моменту обчислюється як $$\delta A=𝐌\cdot \mathit{\omega }dt,$$де Шаблон:Math — потужність протягом часу Шаблон:Math. Сума цих малих робіт за траєкторією руху твердого тіла дає роботу, $$A=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}𝐌\cdot \mathit{\omega }dt.$$Цей інтеграл обчислюється за траєкторією твердого тіла з кутовою швидкістю Шаблон:Math, яка змінюється з часом, тобто він залежить від форми траєкторії.

Якщо вектор кутової швидкості зберігає постійний напрямок, то він набуває вигляду $$\mathit{\omega }=\dot{\varphi }𝐒,$$де $\varphi$ — кут повороту навколо постійного одиничного вектора Шаблон:Math. У цьому випадку робота крутного моменту стає $$A=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}𝐌\cdot \mathit{\omega }dt=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}𝐌\cdot 𝐒\frac{d\varphi }{dt}dt=\underset{C}{\int }𝐌\cdot 𝐒d\varphi ,$$де Шаблон:Math — траєкторія з $\varphi (t_1)$ до $\varphi (t_2)$. Цей інтеграл залежить від форми траєкторії обертання $\varphi (t)$.

Якщо крутний момент $\tau$ узгоджується з вектором кутової швидкості так, що Неможливо розібрати вираз (Помилка перетворення. Сервер ("https://wikimedia.org/api/rest_") повідомив: "Class "Wikibase\Client\WikibaseClient" not found"): {\displaystyle \mathbf {M} =\tau \mathbf {S} ,} і як крутний момент, так і кутова швидкість постійні, тоді робота набуває вигляду, $$A=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\tau \dot{\varphi }dt=\tau ({\varphi }_2-{\varphi }_1).$$

Сила постійної величини, перпендикулярна до плеча важеля

Цей результат легше зрозуміти, розглядаючи крутний момент як такий, що виникає від сили постійної величини Шаблон:Math, прикладеної перпендикулярно до плеча важеля довжиною $r$, як показано на малюнку. Ця сила діятиме на шляху, рівному довжині дуги кола $l=s=r\varphi$, тому виконана робота $$A=Fs=Fr\varphi .$$ Введемо крутний момент Шаблон:Math, щоб отримати $$A=Fr\varphi =\tau \varphi ,$$ як показано вище.

Зверніть увагу, що в роботу робить внесок лише складова крутного моменту в напрямку вектора кутової швидкості.

Робота і потенціальна енергія

Скалярний добуток сили Шаблон:Math і швидкості Шаблон:Math точки її прикладання визначає миттєву потужність, яка надходить у систему. Інтеграл цієї потужності за траєкторією точки прикладання, Шаблон:Math, визначає роботу, яку вносить у систему сила.

Залежність від форми траєкторії

Отже, робота, яку виконує сила Шаблон:Math над тілом, яке рухається вздовж кривої Шаблон:Math визначається криволінійним інтегралом: $$A=\underset{C}{\int }𝐅\cdot d𝐱=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}𝐅\cdot 𝐯dt,$$ де Шаблон:Math визначає траєкторію Шаблон:Math, а Шаблон:Math — швидкість уздовж цієї траєкторії. Цей інтеграл враховує траєкторію, уздовж якої рухається тіло, тобто, робота залежить від форми траєкторії.

Похідна за часом від інтеграла для роботи дає миттєву потужність, $$\frac{dA}{dt}=N(t)=𝐅\cdot 𝐯.$$

Незалежність від форми траєкторії

Якщо робота прикладеної сили не залежить від шляху, то робота, виконана силою, відповідно до градієнтної теореми, визначає потенціальну функцію, яка обчислюється на початку та в кінці траєкторії точки прикладання. Це означає, що існує потенціальна функція Шаблон:Math, яку можна обчислити в двох точках Шаблон:Math і Шаблон:Math щоб отримати роботу за будь-якою траєкторією між цими двома точками. Традиційно цю функцію визначати зі знаком «мінус», так що додатна робота означає зменшення потенціалу, тобто $$A=\underset{C}{\int }𝐅\cdot d𝐱=\underset{𝐱(t_1)}{\overset{𝐱(t_2)}{\int }}𝐅\cdot d𝐱=U(𝐱(t_1))-U(𝐱(t_2)).$$

Функцію Шаблон:Math називають потенціальною енергією, пов'язаною з прикладеною силою. Силу, пов'язану з такою потенціальною функцією, називають консервативною. Прикладами сил, які мають потенціальну енергію, є сила тяжіння та сила пружності.

У цьому випадку градієнт роботи має вигляд Неможливо розібрати вираз (Помилка перетворення. Сервер ("https://wikimedia.org/api/rest_") повідомив: "Class "Wikibase\Client\WikibaseClient" not found"): {\displaystyle \nabla A=-\nabla U=-\left({\frac {\partial U}{\partial x}},{\frac {\partial U}{\partial y}},{\frac {\partial U}{\partial z}}\right)=\mathbf {F} ,} і кажуть, що сила F є «похідною потенціалу».

Оскільки потенціал Шаблон:Mvar визначає силу Шаблон:Math у кожній точці Шаблон:Math простору, сукупність сил називають силовим полем. Потужність, прикладена до тіла з боку силового поля, визначається градієнтом роботи або потенціалу в напрямку швидкості Шаблон:Math тіла, тобто Неможливо розібрати вираз (Помилка перетворення. Сервер ("https://wikimedia.org/api/rest_") повідомив: "Class "Wikibase\Client\WikibaseClient" not found"): {\displaystyle N(t)=-\nabla U\cdot \mathbf {v} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} .}

Робота сили тяжіння

Сила тяжіння Шаблон:Math виконує роботу Шаблон:Math уздовж будь-якої низхідної траєкторії

За відсутності інших сил сила тяжіння спричиняє постійне прискорення вниз кожного вільно рухомого тіла. Біля поверхні Землі прискорення сили тяжіння становить Шаблон:Math, а сила тяжіння на тіло масою m дорівнює Шаблон:Math . Зручно уявляти, що сила тяжіння прикладена в центрі мас об'єкта.

Якщо тіло вагою Шаблон:Math зміщується вгору або вниз на вертикальну відстань Шаблон:Math, робота Шаблон:Math, виконана над тілом, дорівнює: $$A=F_g(y_2-y_1)=F_g\mathrm{\Delta }y=mg\mathrm{\Delta }y$$де $F_g$ — вага (в ньютонах у SI), а $\mathrm{\Delta }y$ — зміна висоти $y$. Зауважте, що робота сили тяжіння залежить лише від вертикального руху тіла. Наявність тертя не впливає на роботу, яку виконує над тілом сила тяжіння.

У космосі

Сила тяжіння, з якою маса Шаблон:Mvar діє на іншу масу Шаблон:Mvar визначається як $$𝐅=-\frac{GMm}{r^2}\widehat{𝐫}=-\frac{GMm}{r^3}𝐫,$$де Шаблон:Math — радіус-вектор від Шаблон:Mvar до Шаблон:Mvar, а Шаблон:Math — одиничний вектор у напрямі Шаблон:Math.

Нехай тіло масою Шаблон:Mvar рухається зі швидкістю Шаблон:Math; тоді робота сили тяжіння над цією масою під час її переміщення з положення Шаблон:Math до Шаблон:Math визначається як $$A=-\underset{𝐫(t_1)}{\overset{𝐫(t_2)}{\int }}\frac{GMm}{r^3}𝐫\cdot d𝐫=-\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\frac{GMm}{r^3}𝐫\cdot 𝐯dt.$$Зауважте, що положення та швидкість маси Шаблон:Mvar визначаються як $$𝐫=r{𝐞}_r,𝐯=\frac{d𝐫}{dt}=\dot{r}{𝐞}_r+r\dot{\theta }{𝐞}_t,$$де Шаблон:Math і Шаблон:Math — радіальний і тангенціальний одиничні вектори, напрямлені відносно вектораШаблон:Прояснити від Шаблон:Mvar до Шаблон:Mvar; крім того $d{𝐞}_r/dt=\dot{\theta }{𝐞}_t.$ Використаємо це, щоб спростити формулу для роботи сили тяжіння: $$A=-\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\frac{GmM}{r^3}(r{𝐞}_r)\cdot (\dot{r}{𝐞}_r+r\dot{\theta }{𝐞}_t)dt=-\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\frac{GmM}{r^3}r\dot{r}dt=\frac{GMm}{r(t_2)}-\frac{GMm}{r(t_1)}.$$ Цей розрахунок використовує той факт, що $$\frac{d}{dt}{r}^{-1}=-r^{-2}\dot{r}=-\frac{\dot{r}}{r^2}.$$ Функція $$U=-\frac{GMm}{r},$$гравітаційна потенціальна функція, також відома як гравітаційна потенціальна енергія. Знак «мінус» відповідає домовленості про те, що робота виконується за рахунок втрати потенціальної енергії.

Робота сили пружності

Сили в пружинах, з'єднаних паралельно

Розглянемо пружину, в якій виникає горизонтальна сила Шаблон:Math, пропорційна її видовженню в напрямку $x$ незалежно від того, як рухається тіло. Роботу цієї пружини над тілом, що рухається в просторі вздовж кривої Шаблон:Math, розраховують за її швидкістю Шаблон:Math: $$A=\underset{0}{\overset{t}{\int }}𝐅\cdot 𝐯dt=-\underset{0}{\overset{t}{\int }}kx{v}_{x}dt=-\frac{1}{2}k{x}^2.$$ Для зручності вважайте, що контакт із пружиною відбувається в момент часу Шаблон:Math, тоді інтеграл від добутку відстані Шаблон:Mvar і проєкції швидкості на вісь Шаблон:Mvar, Шаблон:Math, за часом Шаблон:Mvar дорівнює Шаблон:Math. Робота дорівнює добутку відстані на силу пружності, яка також залежить від відстані; отже маємо Шаблон:Math.

Робота газу

Робота $A$ дії газу на його оточення: $$A=\underset{a}{\overset{b}{\int }}pdV$$ де Шаблон:Mvar — тиск, Шаблон:Mvar — об'єм, Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar — початковий і кінцевий об'єми.

Принцип роботи–енергії

Принцип роботи та кінетичної енергії (також відомий як принцип роботи–енергії) стверджує, що робота, виконана всіма силами, які діють на частинку (робота рівнодійної сил), дорівнює зміні кінетичної енергії частинки. Тобто робота А, яку виконує рівнодійна сил на частинку, дорівнює зміні кінетичної енергії частинки $E_{\text{k}}$, $$A=\mathrm{\Delta }K=\frac{1}{2}m{v}_2^2-\frac{1}{2}m{v}_1^2$$ де $v_1$ і $v_2$ — швидкості частинки до і після виконання роботи, Шаблон:Mvar — її маса.

Виведення принципу роботи-енергії починається з другого закону руху Ньютона та рівнодійної сил, що діють на частинку. Обчислення скалярного добутку сили на швидкість частинки оцінює миттєву потужність, надану системі. (Обмеження визначають напрямок руху частинки, гарантуючи відсутність компонента швидкості в напрямку реакцій в'язей. Це також означає, що реакції не додають миттєвої потужності.) Інтеграл за часом цього скалярного рівняння дає роботу, а кінетичну енергію за скалярним добутком прискорення та швидкостіШаблон:Прояснити. Той факт, що принцип роботи-енергії усуває реакції, лежить в основі механіки Лагранжа.

У цьому розділі зосереджено увагу на принципі роботи–енергії стосовно динаміки частинок. У загальніших системах робота може змінювати потенціальну енергію механічного пристрою, теплову енергію в тепловій системі або електричну енергію в електричному пристрої. Робота переносить енергію з одного місця в інше або переводить її з однієї форми в іншу.

Виведення для частинки, що рухається прямолінійно

У випадку, коли рівнодійна Шаблон:Math постійна як за величиною, так і за напрямом і паралельна швидкості частинки, частинка рухається з постійним прискоренням $a$ вздовж прямої лінії. Співвідношення між рівнодійною та прискоренням визначається рівнянням Шаблон:Math (другий закон Ньютона), а переміщення частинки Шаблон:Mvar можна виразити рівнянням $$s=\frac{v_2^2-v_1^2}{2a}$$ що випливає з $v_2^2=v_1^2+2as$ (див. Рівняння руху).

Робота рівнодійної сил обчислюється як добуток її величини на зміщення частинки. Підставляючи наведені вище рівняння, отримуємо: $$A=Fs=mas=ma\frac{v_2^2-v_1^2}{2a}=\frac{1}{2}m{v}_2^2-\frac{1}{2}m{v}_1^2=\mathrm{\Delta }K$$

Інше виведення: $$A=Fs=mas=m\frac{v_2^2-v_1^2}{2s}s=\frac{1}{2}m{v}_2^2-\frac{1}{2}m{v}_1^2=\mathrm{\Delta }K$$

У загальному випадку прямолінійного руху, коли рівнодійна Шаблон:Math не постійна за величиною, але постійна за напрямом і паралельна швидкості частинки, роботу слід інтегрувати за траєкторією частинки: $$A=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}𝐅\cdot 𝐯dt=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}Fvdt=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}mavdt=m\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}v\frac{dv}{dt}dt=m\underset{v_1}{\overset{v_2}{\int }}vdv=\frac{1}{2}m(v_2^2-v_1^2).$$

Загальне виведення принципу роботи–енергії для частинки

Для будь-якої рівнодійної, що діє на частинку, яка рухається вздовж будь-якої криволінійної траєкторії, за допомогою простого виведення, аналогічного наведеному вище рівнянню, можна продемонструвати, що робота дорівнює зміні кінетичної енергії частинки. У цьому полягає принцип роботи-енергії : $$A=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}𝐅\cdot 𝐯dt=m\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}𝐚\cdot 𝐯dt=\frac{m}{2}\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\frac{d{v}^2}{dt}dt=\frac{m}{2}\underset{v_1^2}{\overset{v_2^2}{\int }}d{v}^2=\frac{m{v}_2^2}{2}-\frac{m{v}_1^2}{2}=\mathrm{\Delta }K$$

Рівність $𝐚\cdot 𝐯=\frac{1}{2}\frac{d{v}^2}{dt}$ випливає з рівності $v^2=𝐯\cdot 𝐯$ і визначення $𝐚=\frac{d𝐯}{dt}$: $$\frac{d{v}^2}{dt}=\frac{d(𝐯\cdot 𝐯)}{dt}=\frac{d𝐯}{dt}\cdot 𝐯+𝐯\cdot \frac{d𝐯}{dt}=2\frac{d𝐯}{dt}\cdot 𝐯=2𝐚\cdot 𝐯.$$

Виведення для частинки, яка рухається з обмеженнями

У динаміці частинок формулу рівності роботи, виконуваної над системою, зміні її кінетичної енергії отримуємо інтегруванням другого закону руху Ньютона. Зауважимо, що рівнодійну, використовувану в законах Ньютона, можна розкласти на сили, прикладені до частинки, і реакції в'язей, які обмежують рух частини. Важливо, що робота реакцій є нульовою, тому принцип роботи-енергії враховує лише роботу прикладених сил.

Щоб побачити це, розглянемо частинку P, яка рухається траєкторією Шаблон:Math під дією сили Шаблон:Math. Ізолюймо частинку від її оточення, щоб виявити силу реакції Шаблон:Math, тоді другий закон Ньютона набуде вигляду $$𝐅+𝐑=m\ddot{𝐗},$$ де Шаблон:Mvar — маса частинки.

Векторне формулювання

Зверніть увагу, що n крапок над вектором означає його n-ну похідну за часом. Скалярний добуток кожної з частин рівняння другого закону Ньютона на вектор швидкості дає $$𝐅\cdot \dot{𝐗}=m\ddot{𝐗}\cdot \dot{𝐗},$$оскільки реакції перпендикулярні до швидкості частинки. Проінтегруймо це рівняння вздовж траєкторії від точки Шаблон:Math до точки Шаблон:Math:$$\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}𝐅\cdot \dot{𝐗}dt=m\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\ddot{𝐗}\cdot \dot{𝐗}dt.$$

Ліва частина цього рівняння є роботою сили, яка діє на частинку вздовж траєкторії від моменту часу Шаблон:Math до моменту часу Шаблон:Math. Це також можна записати як $$A=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}𝐅\cdot \dot{𝐗}dt=\underset{𝐗(t_1)}{\overset{𝐗(t_2)}{\int }}𝐅\cdot d𝐗.$$Цей інтеграл обчислюється вздовж траєкторії Шаблон:Math частинки, отже, залежить від форми траєкторії.

Праву частину інтеграла можна спростити за допомогою такої тотожності $$\frac{1}{2}\frac{d}{dt}(\dot{𝐗}\cdot \dot{𝐗})=\ddot{𝐗}\cdot \dot{𝐗},$$(див. правило добутку). Тепер воно інтегрується явно і дає зміну кінетичної енергії, $$\mathrm{\Delta }K=m\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\ddot{𝐗}\cdot \dot{𝐗}dt=\frac{m}{2}\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\frac{d}{dt}(\dot{𝐗}\cdot \dot{𝐗})dt=\frac{m}{2}\dot{𝐗}\cdot \dot{𝐗}(t_2)-\frac{m}{2}\dot{𝐗}\cdot \dot{𝐗}(t_1)=\frac{1}{2}m\mathrm{\Delta }{𝐯}^2,$$де кінетична енергія частинки визначається скалярною величиною, $$K=\frac{m}{2}\dot{𝐗}\cdot \dot{𝐗}=\frac{1}{2}m{𝐯}^2$$

Тангенціальна і нормальна складові

Корисно розділити вектори швидкості та прискорення на тангенціальну та нормальну складові вздовж траєкторії Шаблон:Math, так що $$\dot{𝐗}=v𝐓\text{and}\ddot{𝐗}=\dot{v}𝐓+v^2\kappa 𝐍,$$де $$v=|\dot{𝐗}|=\sqrt{\dot{𝐗}\cdot \dot{𝐗}}.$$Тоді скалярний добуток швидкості на прискорення у другому законі Ньютона набуває вигляду $$\mathrm{\Delta }K=m\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\dot{v}vdt=\frac{m}{2}\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\frac{d}{dt}{v}^{2}dt=\frac{m}{2}{v}^2(t_2)-\frac{m}{2}{v}^2(t_1),$$де кінетична енергія частинки визначається скалярною величиною, $$K=\frac{m}{2}{v}^2=\frac{m}{2}\dot{𝐗}\cdot \dot{𝐗}.$$

Результатом є принцип роботи-енергії для динаміки частинок, $$A=\mathrm{\Delta }K.$$Цей висновок можна узагальнити на довільні системи твердих тіл.

Прямолінійний рух (гальмування до зупинки)

Розглянемо випадок, коли транспортний засіб рухається по прямій горизонтальній траєкторії під дією рушійної сили та сили тяжіння, які в сумі дорівнюють Шаблон:Math. Сила реакції між транспортним засобом і дорогою Шаблон:Math, отже, $$𝐅+𝐑=m\ddot{𝐗}.$$Для зручності спрямуємо вісь X уздовж траєкторії, тоді Шаблон:Math, а швидкість Шаблон:Math, звідки Шаблон:Math і Шаблон:Math, де $F_x$ — проєкція F на вісь X, отже $$F_{x}v=m\dot{v}v.$$Інтегрування обох частин дає $$\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}{F}_{x}vdt=\frac{m}{2}{v}^2(t_2)-\frac{m}{2}{v}^2(t_1).$$Якщо Шаблон:Math постійна вздовж траєкторії, то інтеграл швидкості дає переміщення, отже $$F_x(d(t_2)-d(t_1))=\frac{m}{2}{v}^2(t_2)-\frac{m}{2}{v}^2(t_1).$$

Як приклад розглянемо автомобіль, який гальмує до зупинки, де k — коефіцієнт тертя, а P — вага автомобіля. Тоді проєкція сили на траєкторію Шаблон:Math. Швидкість $v$ автомобіля можна визначити за гальмівним шляхом Шаблон:Mvar за принципом роботи-енергії, $$kPs=\frac{P}{2g}{v}^2,\text{або}v=\sqrt{2ksg}.$$У цій формулі використано той факт, що маса транспортного засобу дорівнює Шаблон:Math.

Lotus type 119B gravity racer на святкуванні 60-річчя Lotus

Чемпіонат з гравітаційних перегонів у Кампос-Новос, Санта-Катарина, Бразилія, 8 вересня 2010 року.

Спуск по похилій площині (гравітаційні перегони)

Розглянемо транспортний засіб, який рушає з місця та рухається вниз по похилій площині (наприклад, гірській дорозі). Принцип роботи-енергії дає змогу обчислити найменшу відстань, яку має пройти транспортний засіб, щоб досягти швидкості Шаблон:Math, скажімо, 54 км/год (15 м/с). Тертя кочення та опір повітря сповільнять транспортний засіб, тому фактична відстань буде більшою, ніж якщо цими силами знехтувати.

Нехай траєкторія транспортного засобу, що рухається дорогою, буде крива в тривимірному просторі Шаблон:Math. Рухатися транспортний засіб змушує постійна сила тяжіння Шаблон:Math, тоді як обмежує рух реакція дороги Шаблон:Math. Другий закон Ньютона дає, $$𝐅+𝐑=m\ddot{𝐗}.$$Скалярний добуток цього рівняння на швидкість Шаблон:Math дає $$P{v}_z=m\dot{V}V,$$де Шаблон:Math — величина Шаблон:Math. Сила реакції з боку дороги зникає з цього рівняння, оскільки Шаблон:Math, що означає, що вона не виконує роботи. Проінтегрувавши обидві частини, маємо $$\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}P{v}_{z}dt=\frac{m}{2}{V}^2(t_2)-\frac{m}{2}{V}^2(t_1).$$Вага P постійна вздовж траєкторії, а інтеграл вертикальної швидкості дає вертикальне зміщення, тому $$P\mathrm{\Delta }z=\frac{m}{2}{V}^2.$$Нагадаємо, що $V(t_1)=0$. Зауважте, що цей результат не залежить від форми дороги, якою рухається транспортний засіб.

Щоб визначити відстань уздовж дороги, припустимо, що похил становить 6 %, що є доволі крутим схилом. Це означає, що висота зменшується на 6 метрі на кожні 100 пройдених метрів — для таких малих кутів значення синуса і тангенса приблизно рівні. Отже, відстань Шаблон:Mvar у метрах униз уздовж схилу 6 % для досягнення швидкості Шаблон:Mvar становить принаймні $$s=\frac{\mathrm{\Delta }z}{0.06}=8.3\frac{V^2}{g},\text{або}s=8.3\frac{15^2}{9.8}\approx 190\text{ м}.$$У розрахунку використано той факт, що вага транспортного засобу становить Шаблон:Math.

Робота сил, що діють на тверде тіло

Роботу сил, що діють у різних точках на одне тверде тіло, можна обчислити за роботою Шаблон:Нп.

Нехай сили F₁, F₂, … , F_n діють на точки твердого тіла X₁, X₂, …, X_n.

Траєкторії X_i, i = 1, … , n визначаються рухом твердого тіла. Цей рух задано набором обертань [A(t)] і траєкторією d(t) опорної точки в тілі. Нехай координати x_i, i = 1, … , n визначають ці точки в системі відліку M рухомого твердого тіла, так що траєкторії, спостережувані в нерухомій системі F, задані як $${𝐗}_i(t)=[A(t)]{𝐱}_i+𝐝(t)i=1,\dots ,n.$$

Швидкості точок Шаблон:Math вздовж їхніх траєкторій становлять $${𝐕}_i=\mathit{\omega }\times ({𝐗}_i-𝐝)+\dot{𝐝},$$де Шаблон:Math — вектор кутової швидкості, отриманий з кососиметричної матриці $$[\mathrm{\Omega }]=\dot{A}{A}^{𝖳},$$ відомої як матриця кутової швидкості.

Роботу сил на малому переміщенні Шаблон:Math можна визначити апроксимації переміщення Шаблон:Math, отже $$\delta A={𝐅}_1\cdot {𝐕}_1\delta t+{𝐅}_2\cdot {𝐕}_2\delta t+\dots +{𝐅}_n\cdot {𝐕}_n\delta t$$ або $$\delta A=\sum _{i=1}^n{𝐅}_i\cdot (\mathit{\omega }\times ({𝐗}_i-𝐝)+\dot{𝐝})\delta t.$$

Після перетворень маємо $$\delta A=\left(\sum _{i=1}^n{𝐅}_i\right)\cdot \dot{𝐝}\delta t+(\sum _{i=1}^n({𝐗}_i-𝐝)\times {𝐅}_i)\cdot \mathit{\omega }\delta t=(𝐅\cdot \dot{𝐝}+𝐌\cdot \mathit{\omega })\delta t,$$де F і М — рівнодійні сила та крутний момент, що діють у точці відліку d рухомої сиситеми відліку М у твердому тіліШаблон:Прояснити.

Див. також

• Машина Атвуда
• Теорема про кінетичну енергію системи

Джерела

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Посилання

• Зв'язок між роботою і енергією у випадку системи частинок
• Робота // Шаблон:УРЕ