Раціональна точка

У теорії чисел і алгебричній геометрії раціональною точкою алгебраїчного многовиду є точка, координати якої належать заданому полю. Якщо поле не згадано, то загалом мають на увазі поле раціональних чисел. Якщо йдеться про поле дійсних чисел, то раціональну точку частіше називають дійсною точкою.

Розуміння раціональних точок є центральною метою теорії чисел і діофантової геометрії. Наприклад, останню теорему Ферма можна переформулювати так: для Шаблон:Math крива Ферма рівняння $x^{n} + y^{n} = 1$ не має інших раціональних точок, крім Шаблон:Math, Шаблон:Math, і, якщо Шаблон:Mvar парне, Шаблон:Math і Шаблон:Math.

Визначення

Дано поле Шаблон:Mvar і алгебрично замкнуте розширення Шаблон:Mvar поля Шаблон:Mvar; афінний многовид Шаблон:Mvar над Шаблон:Mvar — це множина спільних нулів у Шаблон:Mvar набору многочленів із коефіцієнтами в Шаблон:Mvar:

\begin{matrix} f_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}) = 0, \\ ⋮ \\ f_{r} (x_{1}, \dots, x_{n}) = 0 . \end{matrix}

Ці спільні нулі називають точками в Шаблон:Mvar.

Шаблон:Mvar-раціональна точка (або Шаблон:Mvar-точка) в Шаблон:Mvar — це точка в Шаблон:Mvar, яка належить Шаблон:Mvar, тобто послідовність $(a_{1}, \dots, a_{n})$ з Шаблон:Mvar елементів Шаблон:Mvar таких, що $f_{j} (a_{1}, \dots, a_{n}) = 0$ для всіх Шаблон:Mvar. Множину Шаблон:Mvar-раціональних точок в Шаблон:Mvar часто позначають Шаблон:Math.

Іноді, коли йдеться про поле Шаблон:Mvar, або коли Шаблон:Mvar є полем Шаблон:Tmath раціональних чисел, замість «Шаблон:Mvar-раціональна точка» кажуть «раціональна точка».

Наприклад, раціональні точки одиничного кола рівняння

x^{2} + y^{2} = 1

є парами раціональних чисел

(\frac{a}{c}, \frac{b}{c}),

де Шаблон:Math — трійка Піфагора.

Ця концепція також має сенс у загальніших умовах. Проєктивний многовид Шаблон:Mvar у проєктивному просторі Шаблон:Tmath над полем Шаблон:Mvar можна визначити набором однорідних поліноміальних рівнянь зі змінними $x_{0}, \dots, x_{n} .$ A Шаблон:Mvar-точка Шаблон:Tmath що позначається $[a_{0}, \dots, a_{n}],$ задається послідовністю з Шаблон:Math елементів Шаблон:Mvar, не всі з яких нульові, з розумінням того, що множення всіх $a_{0}, \dots, a_{n}$ на той самий ненульовий елемент Шаблон:Mvar дає ту саму точку в проєктивному просторі. Тоді Шаблон:Mvar-точка в Шаблон:Mvar означає Шаблон:Mvar-точку в Шаблон:Tmath, в якій задані многочлени перетворюються на нуль.

Загальніше, нехай Шаблон:Mvar — схема над полем Шаблон:Mvar. Це означає, що задано Шаблон:Нп Шаблон:Math. Тоді Шаблон:Mvar-точка Шаблон:Mvar означає Шаблон:Нп цього морфізму, тобто морфізм Шаблон:Math такий, що композиція Шаблон:Mvar є тотожністю на Шаблон:Math. Це узгоджується з попередніми визначеннями, коли Шаблон:Mvar є афінним або проєктивним многовидом (що розглядається як схема над Шаблон:Mvar).

Коли Шаблон:Mvar є многовидом над алгебрично замкнутим полем Шаблон:Mvar, значна частина структури Шаблон:Mvar визначається множиною Шаблон:Math його Шаблон:Mvar-раціональних точок. Однак, для загального поля Шаблон:Mvar Шаблон:Math дає лише часткову інформацію про Шаблон:Mvar. Зокрема, для многовиду Шаблон:Mvar над полем Шаблон:Mvar і будь-якого розширення Шаблон:Mvar поля Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar також визначає множину Шаблон:Math Шаблон:Mvar-раціональних точок в Шаблон:Mvar, тобто множину розв'язків рівнянь, що визначають Шаблон:Mvar значеннями в Шаблон:Mvar.

Приклад: нехай Шаблон:Mvar — конічна крива $x^{2} + y^{2} = - 1$ в афінній площині Шаблон:Math над дійсними числами Шаблон:Tmath Тоді множина дійсних точок Шаблон:Tmath порожня, оскільки квадрат будь-якого дійсного числа невід'ємний. З іншого боку, в термінах алгебраїчної геометрії алгебричний многовид Шаблон:Mvar над Шаблон:Tmath не є порожнім, оскільки множина комплексних точок Шаблон:Tmath непорожня.

Загальніше, для схеми Шаблон:Mvar над комутативним кільцем Шаблон:Mvar і будь-якою комутативною Шаблон:Mvar-алгеброю Шаблон:Mvar множина Шаблон:Math Шаблон:Mvar -точок в Шаблон:Mvar означає множину морфізмів Шаблон:Math над Шаблон:Math. Схему Шаблон:Mvar визначає з точністю до ізоморфізму функтор Шаблон:Math; це філософія ототожнення схеми з її Шаблон:Нп. Інше формулювання полягає в тому, що схема Шаблон:Mvar над Шаблон:Mvar визначає схему Шаблон:Mvar над Шаблон:Mvar шляхом Шаблон:Нп, і Шаблон:Mvar-точки Шаблон:Mvar (над Шаблон:Mvar) можна ототожнити з Шаблон:Mvar-точками Шаблон:Mvar (над Шаблон:Mvar).

Теорія діофантових рівнянь традиційно означала вивчення цілих точок, тобто розв'язків поліноміальних рівнянь у цілих числах Шаблон:Tmath, а не раціональних Шаблон:Tmath Для однорідних поліноміальних рівнянь, таких як $x^{3} + y^{3} = z^{3},$ ці дві задачі по суті еквівалентні, оскільки кожну раціональну точку можна масштабувати, щоб вона стала цілою точкою.

Значну частину теорії чисел можна розглядати як дослідження раціональних точок алгебричних многовидів, зручним прикладом яких є Шаблон:Нп проєктивні многовиди. Для гладких проєктивних кривих поведінка раціональних точок сильно залежить від роду кривої.

Рід 0

Кожна гладка проєктивна крива Шаблон:Mvar роду нуль над полем Шаблон:Mvar ізоморфна конічній кривій (степеня 2) у Шаблон:Tmath Якщо Шаблон:Mvar має Шаблон:Mvar-раціональну точку, то вона ізоморфна Шаблон:Tmath над Шаблон:Mvar, тому її Шаблон:Mvar-раціональні точки повністю зрозумілі.^[1] Якщо Шаблон:Mvar — поле Шаблон:Tmath раціональних чисел (або, загальніше, числове поле), існує алгоритм визначення того, чи має дана коніка раціональну точку, заснований на Шаблон:Нп: коніка над Шаблон:Tmath має раціональну точку тоді й лише тоді, коли вона має точку над усіма доповненнями Шаблон:Tmath тобто, над Шаблон:Tmath та всіма p-адичними полями Шаблон:Tmath

Рід 1

Важче визначити, чи має раціональну точку крива роду 1. У цьому випадку не діє принцип Гассе: наприклад, за Шаблон:Нп, кубічна крива $3 x^{3} + 4 y^{3} + 5 z^{3} = 0$ в Шаблон:Tmath має точку над усіма доповненнями Шаблон:Tmath але не має раціональної точки.^[2] Порушення принципу Гассе для кривих роду 1 вимірюється Шаблон:Нп.

Якщо Шаблон:Mvar — крива роду 1 з Шаблон:Mvar-раціональною точкою Шаблон:Math, то Шаблон:Mvar називають еліптичною кривою над Шаблон:Mvar. У цьому випадку Шаблон:Mvar має структуру комутативної алгебричної групи (з нульовим елементом Шаблон:Math), і тому множина Шаблон:Math Шаблон:Mvar-раціональних точок є абелевою групою. Шаблон:Нп каже, що для еліптичної кривої (або, загалом, абелевого многовиду) Шаблон:Mvar над числовим полем Шаблон:Mvar, абелева група Шаблон:Math є скінченнопородженою. Програми комп'ютерної алгебри можуть визначити групу Морделла — Вейля Шаблон:Math у багатьох випадках, але невідомо, чи існує алгоритм, який завжди успішно обчислює цю групу. Це випливає з гіпотези, що група Тейта Ш афаревича є скінченною, або з пов'язаної гіпотези Берча в Сіннертона-Дайра^[3]

Рід не менше 2

Теорема Фалтінгса (раніше гіпотеза Морделла) каже, що для будь-якої кривої Шаблон:Mvar роду не менше 2 над числовим полем Шаблон:Mvar множина Шаблон:Math скінченна.^[4]

Деякі з великих досягнень теорії чисел зводяться до визначення раціональних точок на окремих кривих. Наприклад, велика теорема Ферма (яку довели Річард Тейлор і Ендрю Вайлс) еквівалентна твердженню, що для цілого Шаблон:Mvar, не меншого від 3, крива $x^{n} + y^{n} = z^{n}$ у Шаблон:Tmath над Шаблон:Tmath існують тільки очевидні раціональні точки: Шаблон:Math і Шаблон:Math ; Шаблон:Math та Шаблон:Math для парних Шаблон:Mvar; і Шаблон:Math для непарних Шаблон:Mvar. Крива Шаблон:Mvar (як і будь-яка гладка крива степеня Шаблон:Mvar у Шаблон:Tmath) має рід $\frac{(n - 1) (n - 2)}{2} .$

Невідомо, чи існує алгоритм для знаходження всіх раціональних точок на довільній кривій роду не меншого від 2 над числовим полем. Є алгоритм, який працює в деяких випадках. Його припинення загалом випливало б із припущень, що група Тейта — Шафаревича абелевого многовиду над числовим полем є скінченною і що Шаблон:Нп є єдиною перешкодою для застосування принципу Гассе до кривих.^[5]

Вищі виміри

Многовиди з невеликою кількістю раціональних точок

У вищих вимірах об'єднавчим підходом є гіпотеза Бомб'єрі — Ленга про те, що для будь-якого многовиду Шаблон:Mvar Шаблон:Нп над числовим полем Шаблон:Mvar набір Шаблон:Mvar-раціональних точок Шаблон:Mvar не є щільним за Зариським у Шаблон:Mvar. (Тобто Шаблон:Mvar -раціональні точки містяться в скінченному об'єднанні меншовимірних многовидів у Шаблон:Mvar.) У розмірності 1 це збігається з теоремою Фалтінгса, оскільки крива має загальний тип тоді й лише тоді, коли її рід не менший від 2. Ленг також зробив тонші припущення, пов'язуючи скінченність раціональних точок із Шаблон:Нп.^[6]

Наприклад, гіпотеза Бомб'єрі — Ленга передбачає, що гладка гіперповерхня степеня Шаблон:Mvar у проєктивному просторі Шаблон:Tmath над числовим полем не має щільних за Зариським раціональних точок, якщо Шаблон:Math. Про той випадок відомо небагато. Найсильнішим відомим результатом щодо гіпотези Бомбієрі–Ленга є теорема Фалтінгса про підмноговиди абелевих многовидів (узагальнюючи випадок кривих). А саме, якщо Шаблон:Mvar є підмноговидом абелевого многовиду Шаблон:Mvar над числовим полем Шаблон:Mvar, тоді всі Шаблон:Mvar-раціональні точки Шаблон:Mvar містяться в скінченному об'єднанні транслятів абелевих підмноговидів, що містяться в Шаблон:Mvar.^[7] (Отже, якщо Шаблон:Mvar не містить трансльованих абелевих підмноговидів додатної розмірності, то Шаблон:Math є скінченним.)

Многовиди з багатьма раціональними точками

З іншого боку, кажуть, що многовид Шаблон:Mvar над числовим полем Шаблон:Mvar має потенційно щільні раціональні точки, якщо існує скінченне поле розширення Шаблон:Mvar поля Шаблон:Mvar таке, що Шаблон:Mvar-раціональні точки Шаблон:Mvar є щільними за Зариським в Шаблон:Mvar. Фредерік Кампана припустив, що многовид є потенційно щільним тоді й лише тоді, коли він не має раціонального розшарування над додатно-вимірним орбівидом загального типу.^[8] Відомо, що кожна кубічна поверхня в Шаблон:Tmath над числовим полем Шаблон:Mvar має потенційно щільні раціональні точки, оскільки (точніше) вона стає Шаблон:Нп над деяким скінченним розширенням Шаблон:Mvar (якщо це не конус над плоскою кубічною кривою). Гіпотеза Кампани також означає, що Шаблон:Нп Шаблон:Mvar (така, як гладка квадрична поверхня в Шаблон:Tmath) над числовим полем має потенційно щільні раціональні точки. Це відомо лише в окремих випадках, наприклад, якщо Шаблон:Mvar має еліптичне розшарування.^[9]

Можна запитати, коли многовид має раціональну точку без розширення базового поля. У випадку гіперповерхні Шаблон:Mvar степеня Шаблон:Mvar в Шаблон:Tmath для числового поля є хороші результати, коли Шаблон:Mvar значно менше від Шаблон:Mvar, часто на основі кругового методу Гарді — Літлвуда. Наприклад, Шаблон:Нп каже, що принцип Гассе виконується для квадратичних гіперповерхонь над числовим полем (випадок Шаблон:Math). Шаблон:Нп довів принцип Гассе для гладких кубічних гіперповерхонь у Шаблон:Tmath над Шаблон:Tmath для Шаблон:Math.^[10] У вищих вимірах істинне навіть більше: за Шаблон:Нп, кожен гладкий куб у Шаблон:Tmath над Шаблон:Tmath має раціональну точку, коли Шаблон:Math.^[11] Загалом, Шаблон:Нп каже, що для будь-якого непарного натурального числа Шаблон:Mvar існує таке ціле число Шаблон:Mvar, що для всіх Шаблон:Math кожна гіперповерхня степеня Шаблон:Mvar у Шаблон:Tmath над Шаблон:Tmath має раціональну точку.

Для гіперповерхонь меншої розмірності (щодо їх степеня) все може бути складніше. Наприклад, принцип Гассе не діє для гладкої кубічної поверхні $5 x^{3} + 9 y^{3} + 10 z^{3} + 12 w^{3} = 0$ в Шаблон:Tmath над Шаблон:Tmath(Шаблон:Нп і Річард Гай).^[12] Шаблон:Нп припустив, що перешкода Брауера — Маніна є єдиною перешкодою для принципу Гассе для кубічних поверхонь. Загальніше, це має бути справедливим для кожного раціонально зв'язного многовиду над числовим полем.^[13]

У деяких випадках відомо, що Шаблон:Mvar має «багато» раціональних точок, коли він має одну. Наприклад, розширюючи результати Шаблон:Нп та Юрія Маніна, Янош Коллар показав: для кубічної гіперповерхні Шаблон:Mvar розмірності щонайменше 2 над ідеальним полем Шаблон:Mvar, де Шаблон:Mvar не є конусом, Шаблон:Mvar є уніраціональною над Шаблон:Mvar, якщо вона має Шаблон:Mvar-раціональну точку.^[14] (Зокрема, для нескінченного Шаблон:Mvar уніраціональність означає, що множина Шаблон:Mvar-раціональних точок є щільною за Зариським у Шаблон:Mvar.) Шаблон:Нп є точнішим твердженням для опису асимптотики кількості раціональних точок обмеженої Шаблон:Нп на Шаблон:Нп.

Підрахунок точок над скінченними полями

Многовид Шаблон:Mvar над скінченним полем Шаблон:Mvar має лише скінченну кількість Шаблон:Mvar-раціональних точок. Гіпотези Вейля, які Андре Вейль довів для 1 виміру і П'єр Деліньм — для будь-якої кількості вимірів, дають сильні оцінки для кількості Шаблон:Mvar-точок у термінах Шаблон:Нп для Шаблон:Mvar. Наприклад, якщо Шаблон:Mvar — гладка проєктивна крива роду Шаблон:Mvar над полем Шаблон:Mvar порядку Шаблон:Mvar (степінь простого числа), то

| | X (k) | - (q + 1) | \leq 2 g \sqrt{q} .

Для гладкої гіперповерхні Шаблон:Mvar степеня Шаблон:Mvar в Шаблон:Tmath над полем Шаблон:Mvar порядку Шаблон:Mvar, теорема Деліня дає оцінку:^[15]

| | X (k) | - (q^{n - 1} + \dots + q + 1) | \leq (\frac{(d - 1)^{n + 1} + (- 1)^{n + 1} (d - 1)}{d}) q^{(n - 1) / 2} .

Є також значні результати про те, коли проєктивний многовид над скінченним полем Шаблон:Mvar має принаймні одну Шаблон:Mvar-раціональну точку. Наприклад, Шаблон:Нп передбачає, що будь-яка гіперповерхня Шаблон:Mvar степеня Шаблон:Mvar у Шаблон:Tmath над скінченним полем Шаблон:Mvar має Шаблон:Mvar-раціональну точку, якщо Шаблон:Math. Для гладкого Шаблон:Mvar це також випливає з теореми Шаблон:Нп про те, що кожен гладкий проєктивний раціонально ланцюговий зв'язний многовид, наприклад, кожен многовид Фано, над скінченним полем Шаблон:Mvar має Шаблон:Mvar-раціональну точку.^[16]

Див. також

Примітки

Шаблон:Reflist

Література

Посилання

Шаблон:Citation

↑ Hindry & Silverman (2000), Theorem A.4.3.1.
↑ Silverman (2009), Remark X.4.11.
↑ Silverman (2009), Conjecture X.4.13.
↑ Hindry & Silverman (2000), Theorem E.0.1.
↑ Skorobogatov (2001), section 6,3.
↑ Hindry & Silverman (2000), section F.5.2.
↑ Hindry & Silverman (2000), Theorem F.1.1.1.
↑ Campana (2004), Conjecture 9.20.
↑ Hassett (2003), Theorem 6.4.
↑ Hooley (1988), Theorem.
↑ Heath-Brown (1983), Theorem.
↑ Colliot-Thélène, Kanevsky & Sansuc (1987), section 7.
↑ Colliot-Thélène (2015), section 6.1.
↑ Kollár (2002), Theorem 1.1.
↑ Katz (1980), section II.
↑ Esnault (2003), Corollary 1.3.

[1] Hindry & Silverman (2000), Theorem A.4.3.1.

[2] Silverman (2009), Remark X.4.11.

[3] Silverman (2009), Conjecture X.4.13.

[4] Hindry & Silverman (2000), Theorem E.0.1.

[5] Skorobogatov (2001), section 6,3.

[6] Hindry & Silverman (2000), section F.5.2.

[7] Hindry & Silverman (2000), Theorem F.1.1.1.

[8] Campana (2004), Conjecture 9.20.

[9] Hassett (2003), Theorem 6.4.

[10] Hooley (1988), Theorem.

[11] Heath-Brown (1983), Theorem.

[12] Colliot-Thélène, Kanevsky & Sansuc (1987), section 7.

[13] Colliot-Thélène (2015), section 6.1.

[14] Kollár (2002), Theorem 1.1.

[15] Katz (1980), section II.

[16] Esnault (2003), Corollary 1.3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

Раціональна точка

Зміст

Визначення

Рід 0

Рід 1

Рід не менше 2

Вищі виміри

Многовиди з невеликою кількістю раціональних точок

Многовиди з багатьма раціональними точками

Підрахунок точок над скінченними полями

Див. також

Примітки

Література

Посилання

Навігаційне меню

Раціональна точка

Визначення

Рід 0

Рід 1

Рід не менше 2

Вищі виміри

Многовиди з невеликою кількістю раціональних точок

Многовиди з багатьма раціональними точками

Підрахунок точок над скінченними полями

Див. також

Примітки

Література

Посилання

Навігаційне меню

Пошук