Псі-функція Дедекінда

Псі-функція Дедекінда — мультиплікативна арифметична функція, яку ввів німецький математик Ріхард Дедекінд для вивчення модулярних функцій.

Значення функції ψ(n) для перших кількох натуральних чисел n:

1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24 ... (Шаблон:OEIS).

Означення

Псі-функція Дедекінда є арифметичною функцією, тобто є визначеною на множині натуральних чисел. За означенням ψ(1) = 1. Для інших чисел можна дати кілька еквівалентних означень:

• Для $n⩾2:$

$\psi (n)=n\prod _{p|n}(1+\frac{1}{p}),$

де добуток береться за всіма простими числами p, що ділять n.

• Якщо розклад числа $n⩾2$ на прості множники є $n=p_1^{a_1}\dots p_k^{a_k},$ де всі $a_i>0$ то значення функції є рівним:

$\psi (n)=(p_1+1)p_1^{a_1-1}\dots (p_k+1)p_k^{a_k-1}.$

• Функцію ψ для степенів простих чисел p є рівною $\psi (p^n)=(p+1)p^{n-1}$ і, до того ж вона є мультиплікативною, тобто для двох взаємно простих чисел $m$ і $n$ виконується рівність $\psi (mn)=\psi (m)\psi (n).$ Ці дві властивості дозволяють визначити значення функції для довільного натурального числа.
• Означення функції Дедекінда можна дати також за допомогою згортки Діріхле

$\psi (n)=\mathrm{I}\mathrm{d}*|\mu |(n)=\mathrm{I}\mathrm{d}*{\mu }^2(n)$

де $\mathrm{I}\mathrm{d}(n)=n$, а $\mu (n)$ є функцією Мебіуса.

• Якщо $a|n$ нехай $e(a)$ позначає найбільший спільний дільник чисел $a$ і $\frac{n}{a}.$ Тоді:

$\psi (n)=\sum _{a|n}(\frac{a}{e(a)})\phi (e(a))$

де $\phi$ — функція Ейлера.

Властивості

• Значення функції ψ(n) є більшим, ніж n для всіх n більших 1 і є парним для всіх n більших, ніж 2.

• Псі-функція Дедекінда є мультиплікативною.

• Якщо n є вільним від квадратів числом, то ψ(n) = σ(n).

• Ряд Діріхле функції Дедекінда пов'язаний із дзета-функцією Рімана співвідношенням

$\sum \frac{\psi (n)}{n^s}=\frac{\zeta (s)\zeta (s-1)}{\zeta (2s)}.$

Функції Дедекінда вищих порядків

Узагальненням псі-функції є функції

${\psi }_k(n)=\frac{J_{2k}(n)}{J_k(n)}$

де k є натуральними числами, а $J_k$ є арифметичними функціями Жордана: $J_k(n)=n^k\prod _{p|n}(1-\frac{1}{p^k}).$

Еквівалентно можна дати означення через згортку Діріхле:

${\psi }_k(n)=n^k*{\mu }^2(n)$.

Ряди Діріхле для цих функцій пов'язані із дзета-функцією співвідношеннями:

$\sum _{n⩾1}\frac{{\psi }_k(n)}{n^s}=\frac{\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s)}$.

Якщо позначити

${ϵ}_2=1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0\dots$

характеристичну функцію квадратів, то згортка цієї функції із узагальненою функцією Діріхле є рівною функції σ_k,

${ϵ}_2(n)*{\psi }_k(n)={\sigma }_k(n)$.

Див. також

• Дзета-функція Рімана.
• Функція Ейлера
• Функція Мебіуса

Посилання

• Шаблон:MathWorld

Джерела

• Шаблон:Cite book (page 25, equation (1))
• Шаблон:Cite arXiv Section 3.13.2
• Шаблон:OEIS2C is ψ₂, Шаблон:OEIS2C is ψ₃, and Шаблон:OEIS2C is ψ₄