Проскінченна група

У математиці проскінченною групою називається топологічна група, яка є проєктивною границею скінченних груп. Для них існують узагальнення багатьох властивостей скінченних груп, зокрема теореми Лагранжа і Силова.

Некомпактним узагальненням проскінченних груп є локально проскінченні групи.

Означення

Існує кілька еквівалентних означень проскінченних груп.

Перше означення

Проскінченною групою називається топологічна група, що є ізоморфною проєктивній границі дискретних скінченних груп.

Докладніше для деякої частково впорядкованої множини $(I, ⩽)$ , множина скінченних груп $𝒢 = {G_{i} : i \in I}$ із дискретними топологіями і гомоморфізмів ${f_{i}^{j} : G_{j} \to G_{i} ∣ i, j \in I, i ⩽ j}$ таких, що $f_{i}^{i}$ є тотожним гомоморфізмом на $G_{i}$ і виконуються умови композиції $f_{i}^{j} \circ f_{j}^{k} = f_{i}^{k}$ , проєктивною границею є множина:

$\lim_{\leftarrow} G_{i} = {(g_{i})_{i \in I} \in \prod_{i \in I} G_{i} : f_{i}^{j} (g_{j}) = g_{i} для all j ⩾ i}$ .

На цій множині можна ввести топологію індуковану із добутку топологій, а також структуру групи за допомогою покомпонентного виконання відповідних групових операцій. Із цими структурами $\lim_{\leftarrow} G_{i}$ є топологічною групою, яка і називається проскінченною групою.

Якщо позначити $p_{i} : \lim_{\leftarrow} G_{i} \to G_{i}$ — проєкції на відповідні компоненти, то для $i ⩽ j$ тоді $p_{i} = f_{i}^{j} \circ p_{j} .$ Ці проєкції дозволяють також сформулювати означення проєктивної границі за допомогою універсальної властивості: для множини ${G_{i} : i \in I}$ скінченних груп із гомоморфізмами як вище, проскінченною групою називається група G із гомоморфізмами $p_{i} : G \to G_{i}$ для яких $p_{i} = f_{i}^{j} \circ p_{j}$ для $i ⩽ j$ і до того ж, якщо H є іншою групою для якої існують гомоморфізми $h_{i} : H \to G_{i}$ такі, що $h_{i} = f_{i}^{j} \circ h_{j}$ для $i ⩽ j$ , то існує єдиний гомоморфізм $h : H \to G$ для якого $h_{i} = p_{i} \circ h .$

Друге означення

Проскінченною групою називається гаусдорфова, компактна група для одиничного елемента (і відповідно для будь-якого елемента) якої існує база околів який складається із відкрито-замкнутих підмножин.

Більш того еквівалентно можна вимагати щоб база околів складалася лише із відкритих підгруп (вони тоді також будуть замкнутими і отже відкрито-замкнутими підмножи) і навіть із відкритих (і тому також відкрито-замкнутих) нормальних підгруп.

Третє означення

Проскінченна група є гаусдорфовою, компактною і цілком незв'язною топологічною групою, тобто топологічною групою, яка також є простором Стоуна. При такому означенню перше означення можна одержати розглянувши проєктивну границю $\lim_{\leftarrow} G / N$ де $N$ є відкритими нормальними підгрупами групи $G$ упорядкованими оберненим вкладенням підмножин.

Доведення еквівалентності

(1) -> (2)

Нехай $(a_{i})_{i \in I}$ і $(b_{i})_{i \in I}$ є двома різними елементами групи G як у першому означенні. Відповідно $a_{j} \neq b_{j}$ для деякого $j \in I$ і оскільки група $G_{j}$ є дискретною то одноелементні підгрупи ${a_{j}}, {b_{j}} \subset G_{j}$ є відкритими підмножинами. Відповідно їх прообрази при проєкції $p_{j}^{- 1} ({a_{j}})$ і $p_{j}^{- 1} ({b_{j}})$ теж є відкритими і їх перетин є порожнім. Оскільки очевидно $(a_{i}) \in p_{j}^{- 1} ({a_{j}})$ і $b_{i} \in p_{j}^{- 1} ({b_{j}})$ то група G є гаусдорфовою.

Усі групи $G_{i}$ в означенні є скінченними дискретними, а тому компактними. Відповідно і їх добуток є компактним. Оскільки $G_{i}$ також є гаусдорфовими, то всі підгрупи G, що є розв'язками рівнянь $p_{j} = f_{j}^{k} \circ p_{k}$ для $j ⩽ k$ є замкнутими. Оскільки проєктивна границя є рівною перетину таких підгруп вона є замкнутою як підмножина добутку $G_{i}$ і тому компактною, як замкнута підмножина компактного простору.

Також як підпростір добутку просторів G має базу топології виду $G \cap \prod_{i \in I} U_{i}$ де всі $U_{i}$ є відкритими підмножинами $G_{i}$ і всі вони за винятком скінченної кількості є рівними $G_{i}$ . Нехай тепер $(a_{i})_{i \in I}$ є довільною точкою G і $G \cap \prod_{i \in I} U_{i}$ є деякою множиною із базиса, що містить цю точку. Якщо $i_{1}, \dots, i_{n}$ є скінченною множиною індексів для яких $U_{i} \neq G_{i}$ то всі $a_{i_{k}} \in U_{i_{k}}$ і, оскільки всі групи $G_{i}$ є дискретними і томі всі одноточкові підмножини відкрито-замкнутими, прообрази $p_{i_{k}}^{- 1} ({a_{i_{k}}})$ є відкрито-замкнутими. Тому також їх перетин $p_{i_{1}}^{- 1} ({a_{i_{1}}}) \cap \dots \cap p_{i_{n}}^{- 1} ({a_{i_{n}}})$ є відкрито-замкнутою підмножиною і до того ж цей перетин міститься у $G \cap \prod_{i \in I} U_{i}$ . Тобто для кожної точки і множини із бази, що містить цю точку знайдено відкрито-замкнутий окіл точки, що міститься у множині бази. Тому відкрито-замкнуті околи точки утворюють базу околів точки. Зрозуміло, що для топологічних груп достатньо розглядати лише околи одиничного елемента e оскільки кожен окіл елемента $g \in G$ має вигляд $g U,$ де U — окіл одиничного елемента і цей окіл є відкритим, замкнутим чи відкрито-замкнутим тоді і тільки тоді коли таким є U.

Розглянемо тепер відкрито-замкнуті околи одиничного елемента і доведемо, що кожен такий окіл містить відкриту підгрупу і навіть нормальну підгрупу. Кожна відкрито-замкнута підмножина A є компактною і відкритою, а тому із загальних властивостей топологічних груп випливає існування відкритого околу V одиничного елемента для якого $V A \subset A$ . Якщо позначити $W = V \cap V^{- 1}$ , то W є відкритим околом одиничного елемента і $W = W^{- 1}$ . Також $W A = W^{- 1} A \subset A$ і за індукцією $W^{n} A \subset A$ для всіх цілих чисел n. Якщо H є групою породженою елементами із W, то $H = \cup_{n \in ℤ} W^{n} A$ , тож H є відкритою підгрупою і $H \subset A,$ що доводить першу частину твердження.

Як відкрита підгрупа у компактній групі H має скінченний індекс і тому скінченну кількість різних груп виду $g^{- 1} H g$ для $g \in G$ . Їх перетин буде відкритою нормальною групою, що міститься в H і тому в A.

(2) -> (3)

Оскільки G є компактним простором, то компонента зв'язності точки $g \in G$ є перетином всіх відкрито-замкнутих підмножин, що містять цю точку. Також G є гаусдорфовим тому перетин всіх відкритих околів $g$ є рівним цій точці. Оскільки за означенням 2 кожен відкритий окіл містить відкрито-замкнутий окіл, то перетин відкрито-замкнутих околів є рівним $g$ . Тобто всі компоненти зв'язності є одноточковими і простір є цілком незв'язним.

(3) -> (1)

Оскільки простір є гаусдорфовим, компактним і цілком незв'язним то його одиничний елемент, як компонент зв'язності є рівним перетину всіх відкрито-замкнутих околів і оскільки як і вище кожен відкрито-замкнутий окіл містить відкриту нормальну підгрупу, то перетин всіх таких груп є теж рівним одиничному елементу. Позначимо $N_{i} : i \in I$ систему таких підгруп. Оскільки G є компактним простором і усі $N_{i}$ є відкритими підгрупами, то факторгрупи $A_{i} : = G / N_{i}, i \in I$ є скінченними. Введемо на I відношення часткового порядку: $i ⩽ j$ якщо $N_{j} \subseteq N_{i}$ і у цьому випадку визначені стандартні гомоморфізми $f_{i}^{j} : A_{j} \to A_{i}$ задані як $f_{i}^{j} (g N_{j}) = g N_{i} .$ Для таких груп і гомоморфізмів можна ввести проєктивну границю $A = \lim_{\leftarrow} A_{i}$ із стандартними проєкціями $p_{i} : A \to A_{i}$ для яких $p_{i} = f_{i}^{j} \circ p_{j}$ . Група A буде проскінченною за означенням 1.

Для групи G також існують неперервні гомоморфізми факторизації $q_{i} : G \to A_{i}$ для яких $q_{i} = f_{i}^{j} \circ q_{j}$ . Із універсальної властивості проєктивної границі випливає існування неперервного гомоморфізму $f : G \to H$ для якого $q_{i} = p_{i} \circ f$ для всіх i.

f є ін'єктивним гомоморфізмом. Справді одиничний елемент групи A має вигляд $E = (e N_{i}), i \in I$ і якщо для якогось елемента $f (g) = E$ то $g \in N_{i}$ для всіх i. Оскільки перетин $N_{i}$ є рівним одиничному елементу, то $g = i .$

Якщо $(g_{i} N_{i}), i \in I$ є якимось елементом A, то всі $g_{i} N_{i}$ є замкнутими підмножинами оскільки $N_{i}$ є відкрито-замкнутими. Для скінченної множини індексів $i_{1}, \dots, i_{n}$ перетин $\cap_{i_{k}} N_{i_{k}}$ теж є нормальною підгрупою $N_{r}$ , а тому $g_{r} N_{r} \subset \cap_{i_{k}} g_{i_{k}} N_{i_{k}}$ тобто перетин довільної скінченної кількості множин виду $g_{i} N_{i}$ є непорожнім. Із компактності звідси випливає існування $g \in \cap_{i \in I} g_{i} N_{i} .$ Але тоді $g N_{i} = g_{i} N_{i}$ для всіх i тобто елемент $(g_{i} N_{i}), i \in I$ елемента g при гомоморфізмі f. Звідси f є сюр'єктивним.

Загалом f є бієктивним неперервним гомоморфізмом. Але G компактним простором і A є гаусдорфовим, а тому бієктивне неперервне відображення між такими просторами є гомеоморфізмом. Тобто G і A є ізоморфними як топологічні групи і G є проскінченною у першому означенні.

Приклади

Скінченні групи із дискретною топологією є проскінченними.
Група p-адичних цілих чисел $ℤ_{p}$ із операцією додавання є проскінченною (навіть проциклічною). Вона є проєктивною границею скінченних груп $ℤ / p^{n} ℤ$ де n є натуральними числами і стандартних відображень $ℤ / p^{n} ℤ \to ℤ / p^{m} ℤ$ для $n ⩾ m$ . Топологія $ℤ_{p}$ як проскінченної групи є рівною топології одержаної із p-адичного нормування елементів $ℤ_{p}$ .
Група проскінченних цілих чисел $\hat{ℤ}$ є проєктивною границею скінченних груп $ℤ / n ℤ$ де $n = 1, 2, 3, \dots$ і стандартних відображень $ℤ / n ℤ \to ℤ / m ℤ$ для $m | n$ . Ця група є добутком усіх груп $ℤ_{p}$ і є абсолютною групою Галуа для будь-якого скінченного поля.
У теорії Галуа для нескінченних розширень полів природно виникають групи Галуа, які є проскінченними. А саме, якщо L/K є розширенням Галуа і елементами групи G = Gal(L/K) є автоморфізми поля L, які є тотожними на підгрупі K, то G є проєктивною границею скінченних груп Gal(F/K), де F є підполем L, що містить K і розширення F/K є скінченним розширенням Галуа. Проєктивна границя будується для гомоморфізмів включення Gal(F₁/K) → Gal(F₂/K), де F₂ ⊆ F₁. Топологія Gal(L/K) як проскінченної групи називається топологією Круля. Кожна проскінченна група є ізоморфною групі Галуа для деякого поля K але наразі невідомі методи визначення для якого саме поля. Більш того для багатьох полів невідомо які скінченні групи є групами Галуа для якогось розширення K. Не кожна проскінченна група є абсолютною групою Галуа для деякого поля.

Властивості

Добуток довільної кількості проскінченних груп є проскінченною групою; топологія її як проскінченної групи є рівною. Проєктивна границя оберненої системи проскінченних груп із неперервними гомоморфізмами є проскінченною групою і функтор проєктивної границі є точним на категорії проскінченних груп.
Кожна замкнута підгрупа проскінченної групи є проскінченною; топологія топологія її як проскінченної групи є рівною фактортопології. Якщо N є замкнутою нормальною підгрупою проскінченної групи G, тоді факторгрупа G/N є проскінченною; топологія її як проскінченної групи є рівною фактортопології.
Оскільки кожна проскінченна група G є компактною і Гаусдорфовою на G існує міра Хаара.
Підгрупа проскінченної групи є відкритою якщо і тільки якщо вона є замкнутою і має скінченний індекс.
Теорема Ніколова — Сегала. У топологічно скінченнопородженій проскінченній групі (тобто проскінченній групі для якої існує щільна скінченно породжена підгрупа) підгрупи скінченного індекса є відкритими.
Як наслідок із попередньої властивості, якщо φ: G → H є сюрєктивним гомоморфізмом проскінченних груп G і H і G є топологічно скінченнопородженою, то φ є неперервним. Справді, кожна підгрупа H має скінченний індекс, тож її прообраз у G теж має скінченний індекс, отже є відкритою підгрупою.
Нехай G і H є топологічно скінченнопородженими проскінченними групами, що є ізоморфними як абстрактні групи із ізоморфізмом ι. Тоді ι є бієкцією і неперервним відображенням згідно із попереднім результатом. Аналогічно і ι⁻¹ є неперервним, тож ι є гомеоморфізмом. Таким чином топологія на топологічно скінченнопородженій проскінченній групі повністю визначається її алгебричною структурою.

Проскінченне поповнення

Для довільної групи $G$ існує пов'язана проскінченна група $\hat{G}$ , яка називається проскінченним поповненням групи $G$ . За означенням вона є проєктивною границею груп $G / N$ , де $N$ є нормальними підгрупами у $G$ , що мають скінченний індекс (як і вище ці нормальні підгрупи можна частково впорядкувати за включенням із природніми гомоморфізмами між факторгрупами можна одержати систему скінченних груп). Існує натуральний гомоморфізм $η : G \to \hat{G}$ і образ $G$ при цьому є щільним у $\hat{G}$ . Гомоморфізм $η$ є ін'єктивним якщо і тільки якщо для групи $G$ виконується рівність $⋂ N = 1$ , де перетин береться для всіх нормальних підгруп скінченного індекса. Для гомоморфізма $η$ виконується універсальна властивість: для будь-якої проскінченної групи $H$ і гомоморфізму груп $f : G \to H$ існує єдиний неперервний гомоморфізм груп $g : \hat{G} \to H$ для якого $f = g η$ .

Див. також

Література

Проскінченна група

Зміст

Означення

Перше означення

Друге означення

Третє означення

Доведення еквівалентності

(1) -> (2)

(2) -> (3)

(3) -> (1)

Приклади

Властивості

Проскінченне поповнення

Див. також

Література

Навігаційне меню

Проскінченна група

Означення

Перше означення

Друге означення

Третє означення

Доведення еквівалентності

(1) -> (2)

(2) -> (3)

(3) -> (1)

Приклади

Властивості

Проскінченне поповнення

Див. також

Література

Навігаційне меню

Пошук