Призматоїд

Призмато́їд (від Шаблон:Lang-el, родовий відмінок Шаблон:Lang-el — призма та Шаблон:Lang-el — вид) — багатогранник, дві грані якого (основи) є багатокутниками з довільною кількістю сторін, що лежать у паралельних площинах, а решта (бокові грані) — трикутники або трапеції, причому у трикутників одна сторона, а у трапецій обидві основи є сторонами основ призматоїда.

Призматоїд

Призматоїди, у яких обидві основи є багатокутниками з однаковим числом вершин, а бічні грані є або паралелограмами, або трапеціями, називаються призмоїдами.

Об'єм призматоїда :

$V=\frac{S_1+4S_{\frac{h}{2}}+S_2}{6}\cdot h$

де h — висота (відстань між основами) призматоїда,

$S_1$ і $S_2$ — площі верхньої та нижньої основ призматоїда,

$S_{\frac{h}{2}}$ — площа перерізу, рівновіддаленого від обох основ.

Ця формула випливає з інтегрування площі перерізу, параллельного основам, по формулі Сімпсона, оскільки ця формула є точною для інтегрування поліномів до 3 степеня, а площа перерізу є щонайбільше квадратичною функцією висоти.

Ще одна формула для об'єму призматоїда:

$V=\frac{S_1+3S_{\frac{2h}{3}}}{4}\cdot h$

де $S_{\frac{2h}{3}}$ — площа перерізу при перетині площиною, паралельною основам та віддаленою на 2/3 висоти від основи S₁.

Сімейство призматоїдів

Сімейство призматоїдів містить наступні багатогранники, як часткові випадки:

• Піраміда — призматоїд, у якого одна з основ є точкою.
• Зрізана піраміда — призматоїд, у якого основи є різні за розміром однаково орієнтовані n-кутники, а бічні грані є трапеціями.
• Клин — призматоїд, у якого одна з основ є трапецією, а інша — відрізком прямої, що параленьна до основ цієї трапеції.
• Обеліск (зрізаний прямий клин) — призматоїд, нижня і верхня основи якого є прямокутниками, а протилежні бічні грані (рівні рівнобедрені трапеції) — однаково нахилені до основ, але не перетинаються.
• Призма — призматоїд, у якого основи однакові, а бокові грані є прямокутниками або паралелограмами.
  1. Паралелепіпед — призма, основою для якої є паралелограм.
     • Ромбоедр — всі грані — ромби.
     • Шаблон:Li — всі грані — конгруентні ромби.
     • Прямий паралелепіпед — основи — паралелограми, бічні грані — прямокутники.
     • Прямокутний паралелепіпед (кубоїд) — всі грані — прямокутники.
     • Куб — всі грані — квадрати.
  2. Скручені призми — багатогранники, отримані з прямих n-кутних призм (основи — правильні n-кутники) шляхом повороту однієї з основ на де-який кут, не рівний $\frac{\pi }{n}$
  3. Зірчасті призми.
• Антипризма — призматоїд, у якого основи однакові багатокутники, а сторони є трикутниками.
• Купол — призматоїд, у якого одна з основ є многокутником із удвічі більшою кількістю сторін, а бокові грані є почергово прямокутниками і трикутниками.
• Антикупол — призматоїд, що складається з правильного 2n-кутника (основа антикупола), правильного n-кутника (верхня грань, що паралельна основі), та 3n бокових граней: n рівнобедрених трикутників та 2n різносторонніх трикутників.

Піраміди	Клини	Призми		Антипризми		Куполи	Зрізані піраміди

Узагальнення

Скутоїд

Якщо хоча б одну вершину призматоїда, з якої виходить одне бічне ребро, зрізати площиною так, щоб нова утворена вершина не лежала на протилежній основі, отримаємо багатогранник, що є частинним випадком Шаблон:Li.

В загальному випадку скутоїд не є багатогранником, оскільки не всі його грані можуть бути плоскими.

Вищі розмірності простору

Тетраедрично-кубоктаедричний 4-купол.

Загалом, політоп є призматоїдальним, якщо його вершини лежать в двох паралельних гіперплощинах.

Наприклад, в чотиривимірному просторі, два багатогранники можуть знаходитись в двох паралельних 3-вимірних просторах та сполучаються багатогранними боковими сторонами.

Джерела

• Фольта О. В., Антонович С. А., Юрковський П. В. Нарисна геометрія. — Л.: Світ, 1994. — 303 с. — ISBN 5-7773-0115-0
• Теоретичні положення та методичні рекомендації за темою «Конструювання деяких поверхонь та перетин їх прямою» Для самостійної роботи студентів машинобудівних спеціальностей /Укладачі. Н. О. Федоренко та ін. — Харків: НТУ «ХПІ», 2003 — 39 с.
• Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2015). A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century. The Mathematical Association of America. p. 85. ISBN 9780883853580.

Посилання

• Шаблон:ТС Буд
• «Призматоїд» в УРЕ
• Weisstein, Eric W. Prismatoid на MathWorld.
  • 1 A. Day Bradley, Prismatoid, Prismoid, Generalized Prismoid, The American Math. Monthly, 86, (1979), 486-490.
  • 2 G.B. Halsted, Rational Geometry: A textbook for the Science of Space. Based on Hilbert’s Foundations, second edition, John Wiley and Sons, New York, 1907