Полігамма-функція

Дигамма-функція $\psi (x)$

Тригамма-функція ${\psi }^{\prime }(x)$

Тетрагамма-функція ${\psi }^{″}(x)$

Пентагамма-функція ${\psi }^{‴}(x)$

Поліга́мма-фу́нкція порядку m у математиці визначається як (m+1)-ша похідна натурального логарифма гамма-функції,

${\psi }^{(m)}(z)=\frac{{\mathrm{d}}^m}{\mathrm{d}{z}^m}\psi (z)=\frac{{\mathrm{d}}^{m+1}}{\mathrm{d}{z}^{m+1}}\ln \mathrm{\Gamma }(z),$

де $\mathrm{\Gamma }(z)$ — гамма-функція, а

$\psi (z)={\psi }^{(0)}(z)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}$

— дигамма-функція, яку також можна визначити через суму такого ряду:

$\psi (z)={\psi }^{(0)}(z)=-\gamma +\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+z}),$

де $\gamma$ — стала Ейлера — Маскероні. Це подання справедливе для будь-якого комплексного $z\ne 0,-1,-2,-3,\dots$ (у зазначених точках функція $\psi (z)$ має сингулярності першого порядку).

Полігамма-функцію також можна визначити через суму ряду

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{m+1}m!\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+k{)}^{m+1}},m>0,$

який виходить із подання для дигамма-функції диференціюванням за z. Це подання також справедливе для будь-якого комплексного $z\ne 0,-1,-2,-3,\dots$ (у зазначених точках функція ${\psi }^{(m)}(z)$ має сингулярності порядку (m+1)). Його можна записати через дзета-функцію Гурвіца,

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{m+1}m!\zeta (m+1,z).$

У цьому сенсі дзета-функцію Гурвіца можна використати для узагальнення полігамма-функції на випадок довільного (нецілого) порядку m.

Зазначимо, що в літературі ${\psi }^{(m)}(z)$ іноді позначають як ${\psi }_m(z)$ або явно вказують штрихи для похідних за z. Функцію ${\psi }^{\prime }(z)={\psi }^{(1)}(z)$ називають тригамма-функцією, ${\psi }^{″}(z)={\psi }^{(2)}(z)$ — тетрагамма-функцією, ${\psi }^{‴}(z)={\psi }^{(3)}(z)$ — пентагамма-функцією, ${\psi }^{⁗}(z)={\psi }^{(4)}(z)$ — гексагамма-функцією, і т. д.

Інтегральне подання

Полігамма-функцію можна подати як

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{m+1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^m{e}^{-zt}}{1-e^{-t}}\mathrm{d}t$

Це подання справедливе для Шаблон:Nobr і Шаблон:Nobr. При m=0 (для дигамма-функції) інтегральне подання можна записати у вигляді

$\psi (z)={\psi }^{(0)}(z)=-\gamma +\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-t}-e^{-zt}}{1-e^{-t}}\mathrm{d}t=-\gamma +\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-t^{z-1}}{1-t}\mathrm{d}t,$

де $\gamma$ — стала Ейлера — Маскероні.

Асимптотичні розклади

При $z\to \mathrm{\infty }$ ($|\arg z|<\pi$) справедливий такий розклад із використанням чисел Бернуллі:

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{m-1}[\frac{(m-1)!}{z^m}+\frac{m!}{2z^{m+1}}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2k+m-1)!B_{2k}}{(2k)!z^{2k+m}}]$

Розклад у ряд Тейлора поблизу аргументу, рівного одиниці, має вигляд

${\psi }^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{m+k+1}(m+k)!\zeta (m+k+1)\frac{z^k}{k!},$

де ζ позначає дзета-функцію Рімана. Цей ряд збігається при |z| < 1, і його можна отримати з відповідного ряду для дзета-функції Гурвіца.

Часткові значення

Значення полігамма-функції при цілих і напівцілих значеннях аргументу виражаються через дзета-функцію Рімана,

${\psi }^{(m)}(1)=(-1{)}^{m+1}m!\zeta (m+1),m>0$

${\psi }^{(m)}(\frac{1}{2})=(-1{)}^{m+1}m!(2^{m+1}-1)\zeta (m+1),m>0,$

а для дигамма-функції (при m=0) —

$\psi (1)={\psi }^{(0)}(1)=-\gamma ,$

$\psi (\frac{1}{2})={\psi }^{(0)}(\frac{1}{2})=-\gamma -2\ln 2,$

де $\gamma$ — стала Ейлера — Маскероні.

Щоб отримати значення полігамма-функції за інших цілих (додатних) і напівцілих значень аргументу, можна використати рекурентне співвідношення, наведене нижче.

Інші формули

Полігамма-функція задовольняє рекурентне співвідношення

${\psi }^{(m)}(z+1)={\psi }^{(m)}(z)+\frac{(-1{)}^{m}m!}{z^{m+1}},$

а також формулу доповнення

${\psi }^{(m)}(1-z)+(-1{)}^{m+1}{\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^m\pi \frac{{\mathrm{d}}^m}{\mathrm{d}{z}^m}\cot (\pi z).$

Для полігамма-функції кратного аргументу існує така властивість:

${\psi }^{(m)}(kz)=\frac{1}{k^{m+1}}\sum _{n=0}^{k-1}{\psi }^{(m)}(z+\frac{n}{k}),m>0$

а для дигамма-функції ($m=0$) до правої частини треба додати $\ln k$,

$\psi (kz)=\ln k+\frac{1}{k}\sum _{n=0}^{k-1}\psi (z+\frac{n}{k}).$

Див. також

• Дигамма-функція
• Тригамма-функція

Посилання

• Шаблон:Книга
• Шаблон:MathWorld