Тригамма-функція

Тригамма-функція дійсного аргументу x

Трига́мма-фу́нкція в математиці є другою з полігамма-функцій. Її позначають ${\psi }_1(z)$ і визначають як

${\psi }_1(z)=\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{z}^2}\ln \mathrm{\Gamma }(z),$

де $\mathrm{\Gamma }(z)$ — гамма-функція. З цього визначення випливає, що

${\psi }_1(z)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\psi (z),$

де $\psi (z)$ — дигамма-функція (перша з полігамма-функцій).

Тригамма-функцію можна також визначити через суму такого ряду:

${\psi }_1(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+n{)}^2},$

звідки видно, що вона є окремим випадком дзета-функції Гурвіца,

${\psi }_1(z)=\zeta (2,z).$

Ці формули істинні, коли $z\ne 0,-1,-2,-3,\dots$ (у зазначених точках функція Шаблон:Nobr має квадратичні сингулярності, див. графік функції).

Існують також інші позначення для ${\psi }_1(z)$, використовувані в літературі:

${\psi }^{\prime }(z),{\psi }^{(1)}(z).$

Іноді термін «тригамма-функція» застосовують для функції $F^{\prime }(z)={\psi }_1(z+1)$.

Інтегральні подання

Використовуючи подання у вигляді ряду, а також формулу для суми членів геометричної прогресії, можна отримати таке подвійне інтегральне подання:

${\psi }_1(z)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{y}{\int }}\frac{x^{z-1}y}{1-x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$

За допомогою інтегрування за частинами виходить таке одинарне подання:

${\psi }_1(z)=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{z-1}\ln x}{1-x}\mathrm{d}x.$

Використовується також інше подання, яке можна отримати з попереднього заміною x = e^—t:

${\psi }_1(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}\mathrm{d}t.$

Інші формули

Тригамма-функція задовольняє рекурентне співвідношення

${\psi }_1(z+1)={\psi }_1(z)-\frac{1}{z^2},$

а також формулу доповнення

${\psi }_1(1-z)+{\psi }_1(z)=\frac{{\pi }^2}{{\sin }^2(\pi z)}.$

Для тригамма-функції кратного аргументу існує така властивість:

${\psi }_1(kz)=\frac{1}{k^2}\sum _{n=0}^{k-1}{\psi }_1(z+\frac{n}{k}).$

Наведемо також асимптотичний розклад із використанням чисел Бернуллі:

${\psi }_1(z+1)=\frac{1}{z}-\frac{1}{2z^2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{z^{2k+1}}.$

Часткові значення

Нижче наведено часткові значення тригамма-функції:

${\psi }_1\left(\frac{1}{4}\right)={\pi }^2+8G,$

${\psi }_1\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}{\pi }^2+3\sqrt{3}{\mathrm{C}\mathrm{l}}_2\left(\frac{2}{3}\pi \right),$

${\psi }_1\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}{\pi }^2,$

${\psi }_1\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3}{\pi }^2-3\sqrt{3}{\mathrm{C}\mathrm{l}}_2\left(\frac{2}{3}\pi \right),$

${\psi }_1\left(\frac{3}{4}\right)={\pi }^2-8G,$

${\psi }_1(1)=\frac{1}{6}{\pi }^2,$

де G — стала Каталана, а ${\mathrm{C}\mathrm{l}}_2(\theta )$ — функція Клаузена, пов'язана з уявною частиною дилогарифма через

${\mathrm{C}\mathrm{l}}_2(\theta )=\mathrm{I}\mathrm{m}\left[{\mathrm{L}\mathrm{i}}_2\left(e^{\mathrm{i}\theta }\right)\right].$

Використовуючи формулу кратного аргументу і формулу доповнення, a також зв'язок ${\psi }_1\left(\frac{1}{8}\right)$ з функцією Клаузена, маємо:

${\psi }_1\left(\frac{1}{6}\right)=2{\pi }^2+15\sqrt{3}{\mathrm{C}\mathrm{l}}_2\left(\frac{2}{3}\pi \right),$

${\psi }_1\left(\frac{5}{6}\right)=2{\pi }^2-15\sqrt{3}{\mathrm{C}\mathrm{l}}_2\left(\frac{2}{3}\pi \right),$

${\psi }_1\left(\frac{1}{8}\right)=(2+\sqrt{2}){\pi }^2+4(4-\sqrt{2})G+16\sqrt{2}{\mathrm{C}\mathrm{l}}_2\left(\frac{\pi }{4}\right),$

${\psi }_1\left(\frac{3}{8}\right)=(2-\sqrt{2}){\pi }^2-4(4+\sqrt{2})G+16\sqrt{2}{\mathrm{C}\mathrm{l}}_2\left(\frac{\pi }{4}\right),$

${\psi }_1\left(\frac{5}{8}\right)=(2-\sqrt{2}){\pi }^2+4(4+\sqrt{2})G-16\sqrt{2}{\mathrm{C}\mathrm{l}}_2\left(\frac{\pi }{4}\right),$

${\psi }_1\left(\frac{7}{8}\right)=(2+\sqrt{2}){\pi }^2-4(4-\sqrt{2})G-16\sqrt{2}{\mathrm{C}\mathrm{l}}_2\left(\frac{\pi }{4}\right).$

Для значень за межами інтервалу $0<z\le 1$ можна використати рекурентне співвідношення, наведене вище. Наприклад,

${\psi }_1\left(\frac{5}{4}\right)={\pi }^2+8G-16,$

${\psi }_1\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{2}{\pi }^2-4,$

${\psi }_1(2)=\frac{1}{6}{\pi }^2-1.$

Див. також

• Гамма-функція
• Дигамма-функція
• Полігамма-функція
• Стала Каталана
• Дзета-функція Гурвіца

Посилання

• Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Шаблон:Не перекладено, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. Див. розділ § 6.4 Шаблон:Webarchive
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld