Повнократне число

Повнократне число — додатне ціле число, яке ділиться без остачі квадратом кожного свого простого дільника.

Еквівалентне визначення: число, яке пожна подати у вигляді $a^2{b}^3$, де $a$ і $b$ — додатні цілі числа (натуральні числа).

Повнократні числа систематично вивчені Палом Ердеш і Дьйордем Секерешем, назву дав Соломон Ґоломб.

Список повнократних чисел між 1 і 1000  :

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000.

Еквівалентність двох визначень

Якщо $m=a^2{b}^3$, то будь-яке просте в розкладі $a$ входить двічі, а в $b$ — не менше трьох разів; так що будь-яке просте в розклад $m$ входить не менше, ніж у квадраті.

З іншого боку, нехай $m$ — повнократне число з розкладом

$m=\prod p_i^{{\alpha }_i}$ ,

де кожне ${\alpha }_i\ge 2$. визначимо ${\gamma }_i$ рівним трьом, якщо ${\alpha }_i$ непарне, і нулю в іншому випадку, і визначимо ${\beta }_i={\alpha }_i-{\gamma }_i$. Тоді всі значення ${\beta }_i$ є невід'ємними парними цілими, і всі значення ${\gamma }_i$ або дорівнюють нулю, або трьом, так що:

$m=(\prod p_i^{{\beta }_i})(\prod p_i^{{\gamma }_i})=(\prod p_i^{{\beta }_i/2}{)}^2(\prod p_i^{{\gamma }_i/3}{)}^3$

дає шукане подання $m$, як добуток квадрата і куба.

Іншими словами, для даного розкладу числа $m$ можна взяти як $b$ добуток простих множників, що входять у розклад з непарними степенями (якщо таких немає, то 1). Оскільки $m$ — повнократне, кожен простий множник, що входить у розклад з непарним степенем, має степінь не менше 3, так що $m/b^3$ є цілим. Тепер кожен простий множник $m/b^3$ має парний степінь, так що $m/b^3$ — повний квадрат, позначимо його як $a^2$; і виходить $m=a^2{b}^3$. Наприклад:

$m=21600=2^5\times 3^3\times 5^2$ ,

$b=2\times 3=6$ ,

$a=\sqrt{\frac{m}{b^3}}=\sqrt{2^2\times 5^2}=10$ ,

$m=a^2{b}^3=10^2\times 6^3$ .

Математичні властивості

Сума обернених величин повнократних чисел сходиться:

$\prod _p(1+\frac{1}{p(p-1)})=\frac{\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}=\frac{315}{2{\pi }^4}\zeta (3)$ ,

де $p$ — обходить всі прості числа, $\zeta (s)$ — дзета-функція Рімана, і $\zeta (3)$ — стала Апері (Голомб, 1970).

Нехай $k(x)$ означає кількість повнократних чисел в інтервалі $[1,x]$. Тоді $k(x)$ пропорційне квадратному кореню з $x$. Точніше:

$c{x}^{1/2}-3x^{1/3}\le k(x)\le c{x}^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)=2,173\cdots$ Шаблон:Sfn .

Два найменших послідовних повнократних числа — це 8 і 9. Оскільки рівняння Пелля $x^2-8y^2=1$ має нескінченне число розв'язків, то є й нескінченне число пар послідовних повнократних чиселШаблон:Sfn.

Більш загально, можна знайти послідовні повнократні числа, знайшовши розв'язок рівняння, схожого на рівняння Пелля, $x^2-n{y}^2=\pm 1$ для будь-якого куба $n$. Проте одне з повнократних чисел у парі, отриманій таким чином, має бути квадратом. Згідно з Гаю, Ердеш ставив питання, чи нескінченне число пар повнократних чисел, аналогічних $(23^3,2^3\cdot 3^2\cdot 13^2)$, у яких жодне з чисел у парі не є квадратом. Ярослав Вроблевський показав, що, навпаки, є нескінченно багато таких пар, показавши, що $3^3{c}^2+1=7^3{d}^2$ має нескінченно багато розв'язків.

Шаблон:Якір Відповідно до гіпотези Ердеша — Молліна — Волша, не існує трьох послідовних повнократних чисел.

Суми і різниці повнократних чисел

Будь-яке непарне число можна подати у вигляді різниці двох послідовних квадратів:

$(k+1{)}^2=k^2+2k+1\Rightarrow (k+1{)}^2-k^2=2k+1$ .

Так само, будь-яке число кратне чотирьом можна подати у вигляді різниці двох чисел, що відрізняються на два: $(k+2{)}^2-k^2=4k+4$ . Однак число, що ділиться на два, але не на чотири, не можна подати у вигляді різниці квадратів, тобто виникає питання: які парні числа, що не діляться на 4, можуть бути подані у вигляді різниці двох повнократних чисел.

Голомб дав кілька таких подань:

2 = 3³ — 5²

10 = 13³ — 3⁷

18 = 19² — 7³ = 3² (3³ — 5^2).

Спочатку висловлена гіпотеза, що число 6 можна подати в такому вигляді, і Голомб припустив, що є нескінченно багато цілих чисел, які можна подати у вигляді різниці двох повнократних чисел. Однак Нарківіч виявив, що існує нескінченно багато способів подання числа 6, наприклад

6 = 5⁴7³ — 463²,

і Макденіел Шаблон:Sfn показав, що будь-яке число має нескінченну кількість таких подань.

Ердеш висловив гіпотезу, що будь-яке досить велике ціле число є сумою максимум трьох повнократних чисел. Гіпотезу довів Роджер Хіт-БраунШаблон:Sfn.

Узагальнення

$k$ -повнократні числа — числа, в розклад яких прості числа входять зі степенем, не меншим ніж $k$ .

$(2^{k+1}-1{)}^k$, $2^k(2^{k+1}-1{)}^k$, $(2^{k+1}-1{)}^{k+1}$ є $k$ -повнократними в арифметичній прогресії.

Більше того, якщо $a_1,a_2,\dots ,a_s$ є $k$-повнократнимв в арифметичній прогресії з різницею $d$, то:

$(a_1+d{)}^k,a_2(a_s+d{)}^k,\dots ,a_s(a_s+d{)}^k,a_s(a_s+d{)}^{k+1}$

є $k$-повнократними числами в арифметичній прогресії.

Для $k$ — повнократних чисел має місце:

$a^k(a^l+\dots +1{)}^k+a^{k+1}(a^l+\dots +1)+\dots +a^{k+l}(a^l+\dots +1)=a^k(a^l+\dots +1{)}^{k+1}$.

Ця рівність дає нескінченно багато наборів довжини $l+1$$k$ — повнократних чисел, суми яких теж $k$-повнократні. НітаджШаблон:Sfn показав, що є нескінченно багато розв'язків рівняння $x+y=z$ серед взаємно простих 3-повнократних чисел. КонШаблон:Sfn сконструював нескінченне сімейство розв'язків рівняння $x+y=z$ серед взаємно простих 3-повнократних чисел: трійка

$X=9712247684771506604963490444281$ ,

$Y=32295800804958334401937923416351$ ,

$Z=27474621855216870941749052236511$

є розв'язком рівняння $32X^3+49Y^3=81Z^3$ .

Можливо сконструювати інший розв'язок, поклавши $X^{\prime }=X(49Y^3+81Z^3),Y^{\prime }=-Y(32X^3+81Z^3),Z^{\prime }=Z(32X^3-49Y^3)$ і прибираючи спільний дільник.

Література

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• The abc conjecture