Повна категорія

Категорія називається повною у малому, якщо у ній будь-яка (мала) діаграма має границю. Дуальне поняття — коповна у малому категорія, тобто та, у якій будь-яка мала діаграма має кограницю. Аналогічно визначається кінцева повнота і взагалі α-повнота для будь-якого регулярного кардинала α. З них усіх найбільш використовуваною є повнота у малому, тому категорії, повні у малому, називаються просто повними. Відзначимо, що це не означає існування границь взагалі усіх (не обов'язково малих) діаграм, бо така категорія з необхідністю була б передпорядком.

Категорія, яка є одночасно повною і коповною, називається біповною.

Приклади

• Наступні категорії біповні:
  • категорія множин $𝒮et$;
  • категорія груп $𝒢rp$;
  • категорія кілець $ℛing$;
  • категорія абелевих груп $𝒜b$;
  • категорія топологічних просторів $𝒯op$;
  • категорія компактних хаусдорфових просторів $𝒞omp\mathscr{H}$;
  • категорія малих категорій $𝒞at$;
• Наступні категорії скінченно біповні, але не є повними або коповними:
  • категорія скінченних множин $fSet$;
  • категорія скінченновимірних векторних просторів над полем $K$ $fd-𝒱ec{t}_K$;
  • категорія скінченних груп $f𝒢rp$;
• Взагалі, якщо ${\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}}_{𝒯}$ — категорія моделей деякої алгебраїчної теорії $𝒯$, то ${\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}}_{𝒯}$ повна і коповна, так як вона рефлективна у $\mathrm{F}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{c}(𝒯,𝒮et)$. Нагадаємо, що алгебраїчна теорія допускає лише умову на операції, які є тотожностями (жодних кванторів!). Скажімо, категорія полів не є категорією моделей алгебраїчної теорії, тому попереднє твердження до неї незастосовне. Вона не є повною або коповною.
• (теорема про границю з параметром) Якщо категорія $𝒞$ повна (коповна), то категорія $\mathrm{F}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{c}(𝒜,𝒞)$ повна (коповна) для будь-якої категорії $𝒜$, при чому границі обраховуються поточково.
• Передпорядок повний, якщо у ньому існує найбільший елемент і будь-яка множина елементів має точну верхню грань. Аналогічно, він коповний, якщо має найменший елемент і будь-яка множина елементів має точну нижню грань.
• Категорія метричних просторів $ℳetr$ скінченно повна, але не є повною і не має навіть скінченних кодобутків.

Властивості

• Якщо у категорії існує термінальний об'єкт, будь-яка пара паралельних морфізмів $f,g:a\to b$ має урівнювач і для будь-яких двох об'єктів існує добуток, то категорія є скінченно повною. Якщо крім того інсують усі малі добутки об'єктів, то категорія повна у малому.
• Дуально, якщо у категорії існує початковий об'єкт, для будь-яких двох паралельних морфізмів існує коурівнювач та існує [кодобуток]] усіх пар об'єктів, то категорія є скінченно коповною.
• (Фрейд) Якщо мала категорія повна у малому, то вона є передпорядком.
• Якщо категорія $C$ повна у малому, то для будь-якої малої категорії $A$ будь-який функтор $F:A\to C$ має праве розширення Кана ${\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{n}}_{K}F$ за будь-яким функтором $K:A\to B$, при чому будь-яке таке розширення Кана є поточковим. Твердження явно випливає з подання поточкового розширення Кана як границі.

Література

• С. Маклейн Категории для работающего математика, — Шаблон:М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
• Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики, — Шаблон:М.: Мир, 1983. — 487 с.
• Шаблон:Книга-ру