Поверхня Зейферта

В математиці пове́рхня Зе́йферта — поверхня, межею якої є заданий вузол або зачеплення. Такі поверхні часто бувають корисними при дослідженні відповідного вузла або зачеплення. Зокрема, за її допомогою найпростіше обчислюються багато інваріантів вузлів. Поверхні Зейферта цікаві й самі собою, як об'єкти дослідження. Названо на честь німецького математика Шаблон:Нп.

Визначення

Нехай $L$ — ручний орієнтований вузол або зачеплення в тривимірному просторі (або на тривимірній сфері). Поверхнею Зейферта називають компактно зв'язну орієнтовану поверхню $S$, вкладену в тривимірний простір так, що її межею є $L$, причому орієнтація на поверхні $S$ індукує початкову орієнтацію на $L$.

Підкреслимо, що поверхня Зейферта має бути орієнтованою.

Приклади

• Будь-яка компактна зв'язна орієнтована поверхня з непорожньою межею в тривимірному просторі є поверхнею Зейферта своєї межі.

• Стандартний лист Мебіуса має як межу тривіальний вузол, проте не є його поверхнею Зейферта, оскільки лист Мебіуса неорієнтований.

Рід вузла

Поверхня Зейферта даного вузла або зачеплення визначена неоднозначно: той самий вузол (або зачеплення) $K$ може мати кілька різних поверхонь Зейферта, мінімально можливий рід такої поверхні називають родом вузла, є його інваріантом і позначається через $g(K)$.

Наприклад:

• Рід тривіального вузла дорівнює 0 (оскільки він є межею диска); навпаки, якщо рід вузла дорівнює нулю, то вузол тривіальний.
• Трилисник, як і вісімка, мають рід 1.
• Рід торичного вузла типу $(p,q)$ дорівнює $\frac{(p-1)(q-1)}{2}$.
• Степінь многочлена Александера є оцінкою знизу на подвійний рід вузла.

Фундаментальною властивістю роду є його адитивність відносно зв'язної суми вузлів:

$g(K_1\mathrm{\#}{K}_2)=g(K_1)+g(K_2)$

Посилання

• SeifertView programme — побудова поверхонь Зейферта для різних вузлів.