Дикий вузол

Приклад дикого вузла

Ди́кий ву́зол — патологічне вкладення кола в простір.

Дикі вузли можна знайти в деяких кельтських візерунках.Шаблон:Джерело?

Визначення

Вузол називається ручним, якщо він може бути «потовщений», тобто якщо існує його розширення до повного тора S ¹ × D ², який допускає вкладення в 3-сферу. В теорії вузлів і в теорії Шаблон:Нп часто слово «ручний» опускають.

Вузли, які не є ручними, називаються дикими і можуть мати патологічний поведінку.

Приклади

Дуга Фокса — Артіна

Дикими є вузли, що містять так звані дуги Фокса — Артіна — деякі прості дуги, отримані диким вкладенням в $E^3$. Наприклад, для дуги $L_1$ фундаментальна група $p_1$($E^{3}L$) нетривіальна, для дуги $L_2$ група ${\pi }_1(E^3/L)$ тривіальна, але саме $E^3/L$ не гомеоморфне доповненню в $E^3$ до точки.

На малюнку наведено дикий вузол з однією дикою (патологічною) точкою. Легко побудувати дикий вузол, що містить кілька патологічних точок, нескінченне число таких точок, і навіть незліченну множину патологічних точок. У книзі СосинськогоШаблон:Sfn наведено побудову дикого вузла, патологічні точки якого утворюють множину Кантора.

Можна представити і дикий вузол, що містить більш складну множину — намисто АнтуанаШаблон:Sfn.

Властивості

• Вузол є ручним тоді і тільки тоді, коли його можна подати у вигляді скінченної ламаної.
• Гладкі вузли є ручними.

Варіації та узагальнення

• Нетривіальні дикі вузли з'являються й у сферах старших розмірностей. Наприклад, за теоремою про подвійну надбудову, подвійна надбудова над сферою Пуанкаре гомеоморфна стандартній сфері ${𝕊}^5$. При цьому екватор подвійної надбудови утворює в ${𝕊}^5$ дикий вузол і його доповнення має нетривіальну фундаментальну групу.

Див. також

• Дика сфера

Література

• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга