Вісімка (теорія вузлів)

В теорії вузлів вісімка (чотириразовий вузол або вузол Лістинга) — це єдиний вузол з числом перетинів 4. Це найменше можливе число перетинів, за винятком тривіального вузла і трилисника. Вісімка є простим вузлом. Вперше розглянутий Лістингом у 1847 році.

Походження назви

Назва походить від побутового вузла вісімка на мотузці, кінці якої з'єднані.

Опис

Просте параметричне подання вузла «вісімка» задається множиною точок (x,y,z), для яких

\begin{matrix} x & = (2 + \cos (2 t)) \cos (3 t) \\ y & = (2 + \cos (2 t)) \sin (3 t) \\ z & = \sin (4 t) \end{matrix}

де t — дійсна змінна.

Вісімка є простим, альтернованим, Шаблон:Нп вузлом з відповідним значенням 5/2. Він є також ахіральним вузлом. Вісімка є Шаблон:Нп вузлом. Це випливає з іншого, складнішого (але цікавішого) подання вузла:

Вузол є однорідною^[1] замкнутою косою (а саме, замиканням коси з 3 нитками σ₁σ₂⁻¹σ₁σ₂⁻¹), а теорема Шаблон:Нп показує, що будь-яка однорідна коса є розшарованою.
Вузол є зачепленням у точці (0,0,0,0) — ізольованій критичній точці дійсного поліноміального відображення F: R⁴→R² так, що (згідно з теоремою Джона Мілнора) Шаблон:Нп F є розшаруванням. Бернард Перон знайшов першу таку функцію F для цього вузла, а саме:

F (x, y, z, t) = G (x, y, z^{2} - t^{2}, 2 z t),

де

\begin{matrix} G (x, y, z, t) = & (z (x^{2} + y^{2} + z^{2} + t^{2}) + x (6 x^{2} - 2 y^{2} - 2 z^{2} - 2 t^{2}), \\ t x \sqrt{2} + y (6 x^{2} - 2 y^{2} - 2 z^{2} - 2 t^{2})) . \end{matrix}

.

Математичні властивості

Вузол «вісімка» грав історично важливу роль (і продовжує її грати) в теорії Шаблон:Нп . Десь в середині 1970-х, Вільям Терстон показав, що вісімка є гіперболічним вузлом шляхом розкладання його доповнення на два ідеальних гіперболічних тетраедри (Роберт Райлі і Троельс Йорґенсен, працюючи незалежно один від одного, до цього показали, що вісімка є гіперболічної в іншому сенсі). Ця конструкція, нова на той час, привела його до багатьох сильних результатів і методів. Наприклад він зміг показати, що всі, окрім десяти, Шаблон:Нп на вузлі «вісімка» дають Шаблон:Нп, такі, що не допускають розшарування Зейферта Шаблон:Нп 3-многовиди. Це був перший з таких результатів. Багато інших було відкрито шляхом узагальнення побудови Терстона для інших вузлів і зачеплень.

Вісімка є також гіперболічним вузлом з найменшим можливим об'ємом Шаблон:Число…, згідно з роботою Чо Чунь (Chun Cao) і Роберта Маєрхофа (Robert Meyerhoff). З цієї точки зору вісімку можна розглядати як найпростіший гіперболічний вузол. Доповнення вісімки є подвійним накриттям Шаблон:Нп, який має найменший об'єм серед некомпактних гіперболічних 3-многовидів.

Вузол «вісімка» і Шаблон:Нп є двомя гіперболічними вузлами, для яких відомо більше шести особливих хірургій, хірургій Дена, які приводять до негіперболічних 3-многовиів. Вони мають 10 і 7 відповідно. Теорема Лекенбі (Lackenby) і Маєргофа, доведення якої спирається на гіпотезу про геометризацію і використання комп'ютерних обчислень, стверджує, що 10 є найбільшим можливим числом особливих хірургій для будь-яких гіперболічних вузлів. Однак досі не встановлено, чи є вісімка єдиним вузлом, на якому досягається межа 10. Добре відома гіпотеза стверджує, що нижня межа (за винятком двох згаданих вузлів) дорівнює 6.