Плоска хвиля

Схематичне зображення плоского фронту хвилі

Плоска́ хви́ля — хвиля, фронт якої є площиною.

Рівняння плоскої хвилі має загальний вигляд:

$u=f(𝐧\cdot 𝐫-vt)$,

де орт $𝐧$ задає напрям розповсюдження хвилі, v — швидкість хвилі, f — довільна функція.

Частковим випадком плоскої хвилі є монохроматична плоска хвиля.

Поняття плоскої хвилі є ідеалізацією, оскільки при означенні такої хвилі вважається, що фронт хвилі задається нескінченною площиною, що неможливо для реальних хвиль. Однак, ідеалізація плоскої хвилі широко використовується в різних галузях фізики при розгляді хвиль різноманітної природи: звукових, електромагнітних, зокрема світлових та при описі квантових частинок і полів. Хвилю можна вважати наближено плоскою на великій віддалі від джерела.

Найчастіше у фізиці розглядаються гармонічні плоскі хвилі в лінійних середовищах, для яких функція f - синусоїда або суперпозиція кількох синусоїд, однак плоска хвиля не обов'язково повинна бути гармонічною, як, наприклад, у випадку солітона.

Плоска монохроматична однорідна електромагнітна хвиля

Плоскою електромагнітною хвилею називається хвиля, в якої поверхня рівних фаз являє собою площину.

Плоска хвиля називається однорідною, якщо вектори поля ^{$\overrightarrow{E}$} і ^{$\overrightarrow{H}$} при відповідному виборі напрямків осей координат залежать від однієї просторової координати та від часу. Якщо плоска хвиля лінійно поляризована, то напрямки векторів ^{$\overrightarrow{E}$} (і перпендикулярних до них векторів ^{$\overrightarrow{H}$}) у всьому просторі паралельні один одному.

Нехай електромагнітна хвиля поширюється в ідеальному σ=0 однорідному, ізотропному, лінійному, з постійними параметрами діелектрику без електричних зарядів (q=0) і струмів провідності (J=0). Нехай μ=1, а ε=const.

Джерело електромагнітної енергії значно віддалено від точки спостереження. Хвильовим фронтом можна вважати площину z=const. Таку хвилю називають плоскою. Вона може створюватися випроміненням нескінченної площини. Реально — це сферичні хвилі, що знаходяться на великій віддалі від джерела.

Існує підстава вважати, що поле уздовж цієї площини не змінюється, тобто складові $\frac{\partial }{\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}=0$. Хвиля є однорідною.

Використовуючи рівняння Максвелла, можна визначити зв'язок між складовими електромагнітного поля ^{$\dot{\overrightarrow{E}}$} і ^{$\dot{\overrightarrow{H}}$}, швидкістю поширення і структурою ЕМХ, вважаючи, що поле збуджується гармонічним струмом з частотою ω.

Завдяки лінійності середовища вектори ^{$\dot{\overrightarrow{E}}$} і ^{$\dot{\overrightarrow{H}}$} також змінюються за гармонічним законом:

$\overrightarrow{H}(x,y,z,t)=\dot{\overrightarrow{H}}{e}^{j\omega t}=(\overrightarrow{i}\dot{H_x}+\overrightarrow{j}\dot{H_y}+\overrightarrow{k}\dot{H_z})e^{j\omega t}$

$\overrightarrow{E}(x,y,z,t)=\dot{\overrightarrow{E}}{e}^{j\omega t}=(\overrightarrow{i}\dot{E_x}+\overrightarrow{j}\dot{E_y}+\overrightarrow{k}\dot{E_z})e^{j\omega t}$

^{$\dot{\overrightarrow{E}}$} і ^{$\dot{\overrightarrow{H}}$} є комплексними амплітудами векторів, а їхні проєкції на осі координат $H_x$, $E_x$ і т. д.) — комплексними амплітудами проєкцій.

Поширення плоских хвиль у середовищі без втрат

Таким середовищем є вакуум, а близьким до нього є сухе повітря. На практиці трапляються випадки, коли за умов конкретної задачі втратами можна знехтувати. У всіх цих випадках можна вважати, що йде мова про середовище, в якому σ=0 і tgδ=0.

В цьому випадку $\beta =\omega \sqrt{{\mu }_a{\epsilon }_a}$, a=0.

Фазова швидкість плоскої хвилі буде дорівнювати $\upsilon =\frac{\omega }{\beta }=\frac{\omega }{\omega \sqrt{{\mu }_a{\epsilon }_a}}=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_a{\epsilon }_a}}$

Групова швидкість $\upsilon =\frac{d\omega }{d\beta }=\frac{1}{\frac{d\beta }{d\omega }}=\frac{1}{\frac{d}{d\omega }(\omega \sqrt{{\mu }_a{\epsilon }_a})}=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_a{\epsilon }_a}}$

З цього видно що в таких середовищах фазова і групова швидкості рівні між собою.

Хвильовий опір $z_c=\sqrt{\frac{{\mu }_a}{{\epsilon }_a}}$ є дійсним числом, а вектори ^{$\overrightarrow{E}$} та ^{$\overrightarrow{H}$} зберігаються за фазами:

${\dot{\overrightarrow{E}}}_{mx}={\overrightarrow{x}}_{0}A{e}^{-az}{e}^{-j\beta z}$

${\dot{\overrightarrow{H}}}_{my}=\overrightarrow{y}\frac{A}{{\dot{z}}_c}{e}^{-az}{e}^{-j\beta z}={\overrightarrow{y}}_{0}A\sqrt{\frac{|{\epsilon }_a|}{{\mu }_a}}{e}^{-az}{e}^{-j\beta z}$

Див. також

• Сферична хвиля
• Монохроматична плоска хвиля

Джерела інформації

Ю.В. Крушевський, Ю.І. Кравцов, В.М. Мізерний Електродинаміка та поширення радіохвиль ч.1 Основи електродинаміки, Вінниця: ВНТУ 2004, 128 с.

П.М. Чернишов В.П. Самсонов М.П. Чернишов Технічна електродинаміка Х.: Прапор, 2006. 290с. Шаблон:Фізика-доробити