Монохроматична плоска хвиля

Одновимірна плоска хвиля

Монохромати́чна пло́ска хви́ля описується рівнянням

$u=u_0\cos (𝐤𝐫-\omega t-\phi )$

Де u — залежна від просторових координат $𝐫$ і часу t змінна, $u_0$ — амплітуда хвилі, $\mathbf{(}k)$ — хвильовий вектор, ω — циклічна частота, $\phi$ — фаза.

Хвильовий вектор визначає напрям розповсюдження хвилі у просторі.

Його абсолютна величина зв'язана з довжиною хвилі λ співвідношенням

$k=\frac{2\pi }{\lambda }$

Кожна точка простору здійснює гармонічні коливання з циклічною частотою ω.

Хвиля називається монохроматичною тому, що коливання відбуваються зі строго визначеною частотою. У випадку світла ця частота визначала б колір. Назва «плоска» пов'язана із формою фронту хвилі, який для даного типу хвилі є площиною, перпендикулярною до хвильового вектора.

Поперечні й поздовжні хвилі

У випадку, коли збурення, яке розповсюджується у вигляді хвилі, описується векторною величиною, монохроматична хвиля має вигляд:

$𝐮={𝐮}_0\cos (𝐤𝐫-\omega t-\phi )$.

Залежно від взаємної орієнтації амплітуди ${𝐮}_0$ монохроматичні плоскі хвилі поділяються на поперечні та поздовжні.

Монохроматична плоска хвиля називається поперечною, якщо амплітуда збурення, тобто напрямок коливань, перпендикулярна до напрямку розповсюдження:

${𝐮}_0\cdot 𝐤=0$

Оскільки в площині, перпендикулярній до напрямку розповсюдження, є два можливих взаємоперпендикулярних напрямки, то існують дві незалежні одна від іншої поперечні хвилі, які розповсюджуються в одному напрямку. Вони можуть розрізнятися за фазами.

Якщо вектор ${𝐮}_0$ паралельний вектору $𝐤$, який задає напрямок розповсюдження, то монохроматична плоска хвиля називається поздовжньою.

Електромагнітні хвилі у вакуумі можуть бути лише поперечними. Звукові або акустичні хвилі можуть бути як поперечними, так і повздовжними.

Комплексна форма запису

Використовуючи комплексні числа, монохроматичну плоску хвилю можна записати у вигляді

$𝐮={𝐮}_0{e}^{i𝐤\cdot 𝐫-i\omega t}$.

Комплексна амплітуда ${𝐮}_0$ при такій формі запису містить інформацію про фазу хвилі.

При описі хвиль у класичній фізиці комплексна форма запису — зручний математичний спосіб, який дозволяє просто проводити обчислення. Фактичний результат береться як дійсна частина комплексної функції. Однак, у квантовій механіці хвильова функція зарядженої частинки суттєво комплексна. Комплексність хвильової функції пов'язана із законом збереження заряду.

Фазова швидкість

Частота ω й модуль хвильового вектора k не є незалежними величинами. Залежність $k(\omega )$ називається законом дисперсії. Цей закон визначається природою хвилі та фізичними характеристиками середовища, в якому вона розповсюджується.

Відношення

$v_{ph}=\frac{\omega }{k},$

Називається фазовою швидкістю монохроматичної хвилі.

Для багатьох хвиль закон дисперсії лінійний і фазова швидкість не залежить від частоти. Прикладами таких хвиль є електромагнітні хвилі (світло) у вакуумі, для яких фазова швидкість збігається зі швидкістю світла. Фазова швидкість розповсюдження електромагнітної хвилі в середовищі залежить від показника заломлення й може бути як меншою за швидкість світла, так і більшою за неї.

Швидкість розповсюдження звуку в пружному середовищі теж можна вважати сталою у широкому діапазоні частот.

Окрім фазової швидкості розрізняють також групову швидкість, як швидкість розповсюдження пакету монохроматичних хвиль, за допомогою якого може передаватися інформація.