Питання еквівалентності маси та енергії

Ця стаття включає опис терміна «E=mc²»; див. також інші значення.

4-метрова скульптура формули Альберта Ейнштейна в Берліні, Німеччина

Формула на хмарочосі Тайпей 101 під час одного із заходів Всесвітнього року фізики (2005)

Еквівале́нтність ма́си та ене́ргії — фізична концепція в рамках теорії відносності, згідно з якою енергія фізичного об'єкта (фізичної системи) дорівнює його (її) масі, помноженій на квадрат швидкости світла у вакуумі:

$E=m{c}^2,$

де $E$ — енергія об'єкта, $m$ — його маса, $c$ — швидкість світла у вакуумі, що дорівнює Шаблон:Nobr.

Залежно від того, що розуміють під термінами «маса» та «енергія», дану концепцію може бути інтерпретовано двозначно:

• З одного боку, концепція означає, що інваріантна маса тіла (так звана маса спокою) дорівнює (з точністю до множника $c^2$) енергії, укладеної в ньому, (так званої енергії спокою, тобто в широкому сенсі внутрішньої енергії цього тіла),

$E_0=m{c}^2,$

де $E_0$ — енергія спокою тіла, $m$ — його інваріантна маса;

• З іншого боку, можна стверджувати, що будь-якого виду енергії (не обов'язково внутрішньої) фізичного об'єкта (не обов'язково тіла) відповідає певна маса; наприклад, було введено поняття релятивістської маси, що дорівнює (з точністю до множника $c^2$) повній (включаючи кінетичну) енергії рухомого об'єкту,

$E=m_{rel}{c}^2,$

де $E$ — повна енергія об'єкта, $m_{rel}$ — його релятивістська маса.

Перша інтерпретація не є окремим випадком другої, тому що, хоча енергія спокою є окремим випадком енергії, інваріантна маса не є окремим випадком релятивістської, це дві різні фізичні величини.

У сучасній теоретичній фізиці концепцію еквівалентності маси і енергії зазвичай використовується в першому сенсі. Головною причиною, чому приписування маси будь-якого виду енергії вважається невдалим, є наступна з цього повна синонімічність понять маси і енергії. Крім того, неакуратне використання такого принципу може заплутувати і в кінцевому підсумку не є виправданим. Таким чином, у даний час термін «релятивістська маса» у професійній літературі практично не зустрічається, а коли йдеться про масу, мається на увазі інваріантна маса. У той же час термін «релятивістська маса» використовується для якісних міркувань у прикладних питаннях, а також в освітньому процесі та в науково-популярній літературі. При цьому під цим терміном розуміється збільшення інертних властивостей рухомого тіла.

У найуніверсальнішій формі принцип був сформульований вперше Альбертом Ейнштейном у 1905 році, однак уявлення про зв'язок енергії та інертних властивостей тіла розвивалися і в більш ранніх роботах інших дослідників.

У сучасній культурі формула $E=m{c}^2$ є чи не найвідомішою з усіх фізичних формул, що обумовлюється її зв'язком з атомною зброєю. Крім того, саме ця формула є символом теорії відносності і широко використовується популяризаторами науки.

Енергія спокою

Історично поняття енергії спокою вперше було сформульовано при побудові спеціальної теорії відносності Альбертом Ейнштейном. Ним було показано, що для частинки, що вільно рухається, а також вільного тіла і взагалі будь-якої замкнутої системи частинок, виконуються наступні співвідношення:

$E^2-{\overrightarrow{p}}^2{c}^2=m^2{c}^4\overrightarrow{p}=\frac{E\overrightarrow{v}}{c^2},$

де $E$, $\overrightarrow{p}$, $\overrightarrow{v}$, $m$ — енергія, імпульс, швидкість і маса частинки відповідно, $c$ — швидкість світла у вакуумі. З цих виразів видно, що у релятивістській механіці, навіть коли швидкість і імпульс тіла дорівнюють нулю, його енергія у нуль не обертається, залишаючись рівною деякій величині, яка визначається масою тіла:

$E_0=m{c}^2.$

Ця величина зветься енергія спокою. На підставі цього факту, Ейнштейном було зроблено висновок, що маса тіла є однією з форм енергії, і тим самим, що закони збереження маси і енергії поєднані одним законом збереження.

Енергія та імпульс тіла є компонентами 4-вектора енергії-імпульсу (4-імпульсу) (енергія — часовий, імпульс — просторові компоненти), і відповідним чином перетворюються при переході з однієї системи відліку в іншу, а маса тіла є лоренц-інваріантом, залишаючись при переході в інші системи відліку сталою, і маючи сенс модуля вектора чотирихімпульсу.

Слід також зазначити, що попри те, що енергія і імпульс частинок адитивні, тобто для системи часток маємо: Шаблон:Формула маса частинок адитивною не є. Тобто маса системи частинок, у загальному випадку, не дорівнює сумі мас часток, що її складають.

Таким чином, енергія (неінваріантна, адитивна, часова компонента чотириімпульсу) і маса (інваріантна, неадитивний модуль чотирихімпульсу), це дві різні фізичні величини.

4-імпульс дорівнює добутку інваріантної маси на 4-швидкість тіла.

$p^{\mu }=m{U}^{\mu },$

Це співвідношення слід вважати аналогом у спеціальній теорії відносності класичного визначення імпульсу через масу і швидкість.

Поняття релятивістської маси

Після того, як Ейнштейн запропонував принцип еквівалентності маси і енергії, стало очевидно, що поняття маси може інтерпретуватися неоднозначно. З одного боку, це інваріантна маса, яка фігурує у класичній фізиці, з іншого — можна ввести так звану релятивістську масу еквівалентну повній (включаючи кінетичну) енергії фізичного об'єкта:

$m_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}}=\frac{E}{c^2},$.

де $m_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}}$ — релятивістська маса, $E$ — повна енергія об'єкта.

Для масивного об'єкта (тіла) ці дві маси пов'язані між собою співвідношенням:

$m_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}}=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},$

де $m$ — інваріантна («класична») маса, $v$ — швидкість тіла.

Енергія і релятивістська маса, це одна, і та ж, фізична величина (неінваріантна, адитивна, тимчасова компонента чотирьохімпульсу).

Еквівалентність релятивістської маси й енергії означає, що у всіх системах відліку, енергія фізичного об'єкта (з точністю до множника $c^2$) дорівнює його релятивістській масі.

Введена таким чином релятивістська маса є коєфіцієнтом пропорційності між тривимірним («класичним») імпульсом і швидкістю тіла:

$\overrightarrow{p}=m_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}}\overrightarrow{v}.$

Аналогічне співвідношення виконується в класичній фізиці для інваріантної маси, що також наводиться як аргумент на користь введення поняття релятивістської маси. Це в подальшому призвело до тези, що маса тіла залежить від швидкості його руху.

У процесі створення теорії відносності обговорювалися поняття поздовжньої і поперечної маси масивної частинки (тіла). Нехай сила, що діє на тіло, дорівнює швидкості зміни релятивістського імпульсу. Тоді зв'язок сили $\overrightarrow{F}$ і прискорення $\overrightarrow{a}=d\overrightarrow{v}/dt$ істотно змінюється у порівнянні з класичною механікою:

$\overrightarrow{F}=\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}=\frac{m\overrightarrow{a}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}+\frac{m\overrightarrow{v}\cdot (\overrightarrow{v}\overrightarrow{a})/c^2}{(1-v^2/c^2{)}^{3/2}}.$

Якщо швидкість перпендикулярна силі, то $\overrightarrow{F}=m\gamma \overrightarrow{a},$ а якщо паралельна, то $\overrightarrow{F}=m{\gamma }^3\overrightarrow{a},$ де $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ — релятивістський фактор. Тому $m\gamma =m_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}}$ називають поздовжньою масою, а $m{\gamma }^3$ — поперечною

Твердження про те, що маса залежить від швидкості, увійшло у багато навчальні курсів і у силу своєї парадоксальності набуло широкої популярності серед неспеціалістів. Проте у сучасній фізиці уникають використовувати термін «релятивістська маса», використовуючи замість нього поняття енергії, а під терміном «маса» розуміючи інваріантну масу (масу спокою). Зокрема, виділяються такі недоліки введення терміна «релятивістська маса»:

• Неінваріантність релятивістської маси щодо перетворень Лоренца;
• Синонімічність понять енергія і релятивістська маса, і, як наслідок, надмірність введення нового терміна;
• Наявність різних за величиною поздовжньої і поперечної релятивістських мас і неможливість однакового запису аналога другого закону Ньютона у вигляді.

$m_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}}\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\overrightarrow{F};$

• Методологічні складності викладання спеціальної теорії відносності, наявність спеціальних правил, коли і як слід користуватися поняттям «релятивістська маса», щоб уникнути помилок;
• Плутанина у термінах «маса», «маса спокою» і «релятивістська маса»: частина джерел просто масою називають одне, частина — інше.

Незважаючи на зазначені недоліки, поняття релятивістської маси використовується і в навчальній, і в науковій літературі. Слід, зазначити, що у наукових статтях поняття релятивістської маси використовується здебільшого тільки при якісних міркуваннях як синонім збільшення інертності частинки, що рухається зі швидкістю, близькою до швидкості світла.

Гравітаційна взаємодія

У класичній фізиці гравітаційна взаємодія описується законом всесвітнього тяжіння Ньютона, і його величина визначається гравітаційною масою тіла, яка з високим ступенем точності дорівнює за величиною інертній масі, про яку йшла мова вище, що дозволяє говорити про просто масу тіла.

У релятивістській фізиці гравітація підпорядковується законам загальної теорії відносності, в основі якої лежить принцип еквівалентності, що полягає у невідмінності явищ, які відбуваються локально в гравітаційному полі, від аналогічних явищ в неінерційній системі відліку, що рухається з прискоренням, яке рівне прискоренню вільного падіння у гравітаційному полі. Можна показати, що даний принцип еквівалентний твердженням про рівність інертної і гравітаційної мас.

У загальній теорії відносності енергія відіграє ту ж роль, що і гравітаційна маса у класичній теорії. Величина гравітаційної взаємодії у цій теорії визначається так званим тензором енергії-імпульсу, що є узагальненням поняття енергії.

У простому випадку точкової частинки у центрально-симетричному гравітаційному полі об'єкта, маса якого багато більше маси частинки, сила, що діє на частинку, визначається виразом:

$\overrightarrow{F}=-GM\frac{E}{c^2}\frac{(1+{\beta }^2)\overrightarrow{r}-(\overrightarrow{r}\overrightarrow{\beta })\overrightarrow{\beta }}{r^3}$

де Шаблон:Math — гравітаційна стала, Шаблон:Math — маса важкого об'єкта, Шаблон:Math — повна енергія частинки, $\beta =v/c,$ Шаблон:Math — швидкість частинки, $\overrightarrow{r}$ — радіус-вектор, що проведено з центру важкого об'єкта у точку знаходження частинки. З цього виразу видно головну особливість гравітаційної взаємодії у релятивістському випадку у порівнянні з класичною фізикою: воно залежить не тільки від маси частинки, але й від величини та напрямку її швидкості. Остання обставина, зокрема, не дозволяє ввести однозначним чином якусь ефективну гравітаційну релятивістську масу, яка б зводила закон тяжіння до класичного виду.

Граничний випадок безмасової частки

Важливим граничним випадком є випадок частки, маса якої дорівнює нулю. Прикладом такої частки є фотон — частка-носій електромагнітної взаємодії. З наведених вище формул випливає, що для такої частки справедливі наступні співвідношення:

$E=pc,v=c.$

Таким чином, частка з нульовою масою незалежно від своєї енергії завжди рухається зі швидкістю світла. Для безмасових часток введення поняття «релятивістської маси» в особливій мірі не має сенсу, оскільки, наприклад, при наявності сили у поздовжньому напрямку швидкість частинки постійна, а прискорення, отже, дорівнює нулю, що вимагає нескінченної за величиною ефективної маси тіла. У той же час, наявність поперечної сили призводить до зміни напрямку швидкості, і, отже, «поперечна маса» фотона має скінченну величину.

Аналогічно безглуздо для фотона вводити ефективну гравітаційну масу. У разі центрально-симетричного поля, розглянутого вище, для фотона, що падає вертикально вниз, вона дорівнюватиме $E/c^2$, а для фотона, що летить перпендикулярно напрямку на гравітаційний центр, — $2E/c^2$.

Практичне значення

Формула на палубі першого авіаносця з ядерною силовою установкою USS Enterprise 31 липня 1964

Формула на пам'ятній монеті НБУ

Отримана Альбертом Ейнштейном еквівалентність маси тіла до енергії, що була запасена у тілі, стала одним з головних практично важливих результатів спеціальної теорії відносності. Співвідношення $E_0=m{c}^2$ показало, що у речовині закладені величезні (завдяки квадрату швидкості світла) запаси енергії, які можуть бути використані у енергетиці і військових технологіях.

Кількісні співвідношення між масою і енергією

У міжнародній системі одиниць SI відношення енергії і маси E/m виражається у джоулях на кілограм, і воно чисельно дорівнює квадрату значення швидкості світла c у метрах за секунду):

E / m = c² = (299 792 458 м/с)² = Шаблон:Nobr (≈9,0Шаблон:E джоулів на кілограм).

Таким чином, 1 грам маси еквівалентний наступним значенням енергії:

• 89,9 тераджоулів (89,9 ТДж)
• 25,0 мільйонів кіловат-годин (25 ГВт·год),
• 21 500 000 000 кілокалорій (≈ 21 Ткав),
• 21,5 кілотонн у тротиловому еквіваленті (≈21 кт).

У ядерній фізиці часто застосовується значення відношення енергії та маси, виражене у мегаелектронвольтах на атомну одиницю маси — Шаблон:Nobr

Приклади взаємоперетворення енергії спокою і кінетичній енергії

Енергія спокою здатна переходити у кінетичну енергію частинок у результаті ядерних та хімічних реакцій, якщо у них маса речовини, що вступила у реакцію, більше маси речовини після реакції. Прикладами таких реакцій є:

• Анігіляція пари частинка-античастинка з утворенням двох фотонів. Наприклад, при анігіляції електрона та позитрона утворюється два гамма-кванти, і енергія спокою пари повністю переходить в енергію фотонів:

$e^{-}+e^{+}\to 2\gamma .$

• Термоядерна реакція синтезу атому гелію з протонів і електронів, у якій різниця мас гелію і протонів перетворюється у кінетичну енергію гелію і енергію електронних нейтрино

$2e^{-}+4p^{+}\to {}_2^4\mathrm{H}\mathrm{e}+2{\nu }_e+E_{\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}}.$

• Реакція поділу ядра урану-235 при зіткненні з повільним нейтроном. При цьому ядро ділиться на дві частини з меншою сумарною масою з випусканням двох або трьох нейтронів і звільненням енергії близько 200 МеВ, що становить близько 1 відсотка від маси атома урану. Приклад такої реакції:

${}_{92}^{235}\mathrm{U}+{}_0^{1}n\to {}_{36}^{93}\mathrm{K}\mathrm{r}+{}_{56}^{140}\mathrm{B}\mathrm{a}+3{}_0^{1}n.$

• Реакція горіння метану:

${\mathrm{C}\mathrm{H}}_4+2{\mathrm{O}}_2\to {\mathrm{C}\mathrm{O}}_2+2{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}.$

У цій реакції виділяється близько 35,6 МДж теплової енергії на кубічний метр метану, що становить близько 10⁻¹⁰ від його енергії спокою. Таким чином, у хімічних реакціях перетворення енергії спокою у кінетичну енергію значно нижче, ніж у ядерних.

Важливо відзначити, що у практичних застосуваннях перетворення енергії спокою у енергію випромінювання рідко відбувається зі стовідсотковою ефективністю. Теоретично досконалим перетворенням було б зіткнення матерії з антиматерією, однак у більшості випадків замість випромінювання виникають побічні продукти і внаслідок цього тільки дуже мала кількість енергії спокою перетворюється в енергію випромінювання.

Існують також зворотні процеси, що збільшують енергію спокою, а отже і масу. Наприклад, при нагріванні тіла збільшується його внутрішня енергія, у результаті чого зростає маса тіла. Інший приклад — зіткнення частинок. У подібних реакціях можуть народжуватися нові частинки, маси яких істотно більше, ніж у вихідних. «Джерелом» маси таких частинок є кінетична енергія зіткнення.

Історія і питання пріоритету

Джозеф Джон Томсон першим спробував пов'язати енергію і масу

Уявлення про масу, що залежить від швидкості, і про зв'язок між масою і енергією почало формуватися ще до появи спеціальної теорії відносності. Зокрема, у спробах узгодити рівняння Максвелла з рівняннями класичної механіки деякі ідеї були висунуті у статтях Миколи Умова, Дж. Дж. Томсона, Олівера Гевісайда, Роберта Сирла, Макса Абрагама, Гендріка Лоренца та Анрі Пуанкаре. Однак тільки у Альберта Ейнштейна ця залежність універсальна, не пов'язана з ефіром і не обмежена електродинамікою.

Вважається, що вперше спроба пов'язати масу й енергію була зроблена в роботі Дж. Дж. Томсона, що з'явилася у 1881 році. Томсон у своїй роботі вводить поняття електромагнітної маси, називаючи так внесок, що привносить в інертну масу зарядженого тіла електромагнітне поле, що створюється цим тілом.

Ідея наявності інерції у електромагнітного поля присутня також і в роботі Гевісайда, що вийшла в 1889 році. Виявлені у 1949 році чернетки його рукописів вказують на те, що десь у цей же час, розглядаючи задачу про поглинання і випромінювання світла, він отримує співвідношення між масою і енергією тіла у вигляді $E=m{c}^2$.

У 1900 році Анрі Пуанкаре опублікував роботу, у якій прийшов до висновку, що світло як переносник енергії повинне мати масу, яка визначається виразом $E/v^2,$ де Шаблон:Math — енергія, яку переносить світло, Шаблон:Math — швидкість переносу.

Гендрік Антон Лоренц вказував на залежність маси тіла від його швидкості

У роботах Макса Абрагама (1902 рік) і Гендріка Лоренца (1904 рік) було вперше встановлено, що для рухомого тіла не можна ввести єдиний коефіцієнт пропорційності між його прискоренням і силою, що діє на нього. Ними були введені поняття поздовжньої і поперечної мас. Ці поняття за допомогою другого закону Ньютона застосовувались для опису динаміки частки, що рухається зі швидкістю близької до швидкості світла. Так, Лоренц у своїй роботі писавШаблон:Sfn:

Шаблон:Початок цитати Отже, у процесах, при яких виникає прискорення у напрямку руху, електрон поводиться так, ніби він має масу $m_1,$ а при прискоренні у напрямку, перпендикулярному до руху, як ніби володіє масою $m_2.$ Величинам $m_1$ і $m_2$ тому зручно дати назви «поздовжньої» і «поперечної» електромагнітних мас. Шаблон:Oq Шаблон:Кінець цитати

Експериментально залежність інертних властивостей тіл від їх швидкості була продемонстрована на початку XX століття у роботах Вальтера Кауфмана (1902 рік) і Альфреда Бухерера (1908 рік).

У 1904–1905 роках Шаблон:Нп у своїй роботі приходить до висновку, що наявність у порожнині випромінювання виявляється у тому числі і так, ніби маса порожнини збільшилася.

Альберт Ейнштейн сформулював принцип еквівалентності енергії та маси в найзагальнішому вигляді

У 1905 році з'являється відразу цілий ряд основоположних робіт Альберта Ейнштейна, у тому числі і робота, присвячена аналізу залежності інертних властивостей тіла від його енергії. Зокрема, при розгляді випускання масивним тілом двох «кількостей світла» у цій роботі вперше вводиться поняття енергії спокою тіла і робиться наступний висновокШаблон:Sfn:

Шаблон:Початок цитати Маса тіла є міра утримання енергії у цьому тілі, якщо енергія змінюється на величину Шаблон:Math, то маса змінюється відповідно на величину Шаблон:Math/9×1020, причому тут енергія вимірюється в ергах, а маса — в грамах… Якщо теорія відповідає фактам, то випромінювання переносить інерцію між випромінюючими і поглинаючими тілами Шаблон:Oq Шаблон:Кінець цитати

У 1906 році Ейнштейн вперше говорить про те, що закон збереження маси є всього лише окремим випадком закону збереження енергії.

У більш повній мірі принцип еквівалентності маси і енергії був сформульований Ейнштейном у роботі 1907, у якій він пише

Шаблон:Початок цитати …спрощене припущення $\mu V^2=$ε0 є одночасно виразом принципу еквівалентності маси і енергії… Шаблон:Oq Шаблон:Кінець цитати

Під спрощеним припущенням тут мається на увазі вибір довільної постійної у виразі для енергії. У більш докладній статті, що вийшла в тому ж році, Ейнштейн зауважує, що енергія є також і мірою гравітаційної взаємодії тіл.

У 1911 році виходить робота Ейнштейна, присвячена гравітаційному впливу масивних тіл на світло. У цій роботі їм приписується фотону інертна і гравітаційна маса, що дорівнює $E/c^2$ і для величини відхилення променя світла у полі тяжіння Сонця виводиться значення Шаблон:Nobr, що у два рази менше правильного значення, отриманого ним же пізніше на основі розвинутої загальної теорії відносності. Цікаво, що те ж саме половинне значення було отримано Шаблон:Нп ще у 1804 році, але його робота залишилася непоміченою.

Експериментально еквівалентність маси і енергії було вперше продемонстровано у 1933 році. У Парижі Ірен та Фредерік Жоліо-Кюрі зробили фотографію процесу перетворення кванта світла, що несе енергію, у дві частинки, які мають ненульову масу. Приблизно у той же час у Кембриджі Джон Кокрофт та Ернест Томас Синтон Волтон спостерігали виділення енергії при діленні атома на дві частини, сумарна маса яких виявилася меншою, ніж маса вихідного атома.

Вплив на культуру

З моменту відкриття формула $E=m{c}^2$ стала однією з найвідоміших фізичних формул і є символом теорії відносності. Незважаючи на те, що історично формула була вперше запропонована не Альбертом Ейнштейном, зараз вона асоціюється виключно з його ім'ям, наприклад, саме ця формула була використана як назва телевізійної біографії відомого вченого, що вийшла у Шаблон:Nobr. Популярності формули сприяло широке використання популяризаторами науки контрінтуїтивний висновок, що маса тіла збільшується зі збільшенням його швидкості. Крім того, з цією ж формулою асоціюється потужність атомної енергії. Так, у Шаблон:Nobr журнал «Time» на обкладинці зобразив Ейнштейна на тлі гриба ядерного вибуху з формулою $E=m{c}^2$ на ньому.

• 
  Бюст Ейнштейна в австралійському Шаблон:Нп
• 
  «Теорія відносності», одна з шести скульптур в ансамблі Walk of Ideas у Берліні

Див. також

• Спеціальна теорія відносності
• Загальна теорія відносності

Посилання

• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web

Джерела

• The Equivalence of Mass and Energy — Entry in the Stanford Encyclopedia of Philosophy
• Living Reviews in Relativity — An open access, peer-referred, solely online physics journal publishing invited reviews covering all areas of relativity research.
• A shortcut to E=mc² — An easy to understand, high-school level derivation of the E=mc² formula.
• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга