Параболоїд

Шаблон:Unibox Параболо́їд — тип поверхні другого порядку.

Рівняння

Типи параболоїдів

Канонічне рівняння параболоїда в декартових координатах:

z = a x^{2} + b y^{2}

якщо $a$ і $b$ мають один знак, то параболоїд зветься еліптичним.
якщо $a$ і $b$ мають різні знаки, то параболоїд зветься гіперболічним.
якщо один з коефіцієнтів дорівнює нулю, то параболоїд зветься параболічним циліндром.

Еліптичний параболоїд

Еліптичний параболоїд виглядає як овальна чашка й може мати точку максимуму або мінімуму. У системі координат з трьома осями $x$ , $y$ і $z$ , еліптичний параболоїд може бути поданий рівнянням

z = \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} .

де $a$ і $b$ — константи, що визначають кривизну в площинах $x$ - $z$ і $y$ - $z$ відповідно.

Гіперболічний параболоїд

Гіперболічний параболоїд (не плутати з гіперболоїдом) — це двічі лінійчата поверхня, що має вигляд сідла. У підходящій системі координат гіперболічний параболоїд може бути поданий рівнянням

z = \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} .

Властивості

Гіперболічний параболоїд — це двічі лінійчата поверхня, тому може бути використана для побудови сідлової поверхні з ліній.

Коли a = b, еліптичний параболоїд перетворюється на параболоїд обертання: поверхню отримано обертанням параболи навколо її осі. Форму параболоїду обертання мають параболічні рефлектори, дзеркала, антенні тарілки тощо. Форма рідини, що обертається в рідинно-дзеркальних телескопах, також є параболоїдом обертання. Параболоїд обертання також називається круговим параболоїдом.

Кривина

Еліптичний параболоїд, що параметризований як

\vec{σ} (u, v) = (u, v, \frac{u^{2}}{a^{2}} + \frac{v^{2}}{b^{2}})

має Ґаусову кривину

K (u, v) = \frac{4}{a^{2} b^{2} {(1 + \frac{4 u^{2}}{a^{4}} + \frac{4 v^{2}}{b^{4}})}^{2}}

і середню кривину

H (u, v) = \frac{a^{2} + b^{2} + \frac{4 u^{2}}{a^{2}} + \frac{4 v^{2}}{b^{2}}}{a^{2} b^{2} {(1 + \frac{4 u^{2}}{a^{4}} + \frac{4 v^{2}}{b^{4}})}^{3 / 2}}

обидві з яких є позитивними, мають максимум на початку відліку, стають меншими з рухом точки від початку відліку, прямують асимптотично до нуля, коли точка рухається нескінченно віддалено від початку відліку.

Гіперболічний параболоїд параметризований як

\vec{σ} (u, v) = (u, v, \frac{u^{2}}{a^{2}} - \frac{v^{2}}{b^{2}})

має Ґаусову кривину

K (u, v) = \frac{- 4}{a^{2} b^{2} {(1 + \frac{4 u^{2}}{a^{4}} + \frac{4 v^{2}}{b^{4}})}^{2}}

і середню кривину

H (u, v) = \frac{- a^{2} + b^{2} - \frac{4 u^{2}}{a^{2}} + \frac{4 v^{2}}{b^{2}}}{a^{2} b^{2} {(1 + \frac{4 u^{2}}{a^{4}} + \frac{4 v^{2}}{b^{4}})}^{3 / 2}} .

Таблиця множення

Якщо гіперболічний параболоїд

z = \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}

обертається на кут π/4 в напрямку +z (відповідно до правила правої руки, то результатом є поверхня

z = \frac{1}{2} (x^{2} + y^{2}) (\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}}) + x y (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}})

і якщо $a = b$ тоді вираз спрощується до

z = \frac{2}{a^{2}} x y

.

Нарешті, прирівнюючи $a = \sqrt{2}$ , можна бачити, що гіперболічний параболоїд

z = \frac{x^{2} - y^{2}}{2} .

є конгруентним до поверхні

z = x y

що може бути геометричною інтерпретацією (тривимірна номограма) таблиці множення.

Дві параболоїдні $ℝ^{2} \to ℝ$ функції

z_{1} (x, y) = \frac{x^{2} - y^{2}}{2}

і

z_{2} (x, y) = x y

є гармонійними кон'югатами, і разом формують аналітичну функцію

f (z) = \frac{1}{2} z^{2} = f (x + i y) = z_{1} (x, y) + i z_{2} (x, y)

яка є аналітичним продовженням $ℝ \to ℝ$ parabolic function $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} .$