Окружність

Шаблон:Геометрія У геометрії, окружністю (від латинського circumferentia, що означає «обійти довкола») кола це лінійна довжина довкола нього. Тобто, окружність визначає довжину кола, якби його випрямили і розтягнули в вигляді прямого відрізка. Оскільки коло це зовнішня межа круга (диску), окружність це особливий випадок периметра. Периметр це довжина довкола будь-якої замкненої фігури і цей термін застосовують до всіх фігур окрім кола і подібних округлих фігур, таких як Еліпси.

Крім того, слово «окружність» може стосуватися самої межі кола, а не поняття довжини цієї межі.

Окружність кола

Ілюстрація кола з окружністю (C) показаною чорним, діаметром (D) блакитним, радіусом (R) червоним, із центром у точці (O), що виділена фіолетовим. Окружність = Шаблон:Pi × діаметр = 2 × Шаблон:Pi × радіус.

Окружність кола, це відстань довкола нього, але якщо, як у більшості елементарних трактуваннях, відстань визначається по прямій лінії, таке пояснення не може використовуватися як визначення. З таких міркувань, окружність кола можна визначити як границю периметрів вписаних правильних багатокутників із нескінченним збільшенням кількості їх сторін. Поняття окружності використовують при вимірювання фізичних об'єктів, також при розгляді абстрактних геометричних форм.

Якщо діаметр кола дорівнює 1, його окружність дорівнює Шаблон:Pi.

Якщо радіус кола дорівнює 1, що називається одиничним колом—його окружність становить 2Шаблон:Pi.

Зв'язок із числом Шаблон:Pi

Окружність кола пов'язана з однією з найважливіших математичних констант. Ця константа, пі, позначається грецькою літерою [[Пі (літера)|Шаблон:Pi]]. Першими декількома десятковими цифрами чисельного значення Шаблон:Pi є 3,141592653589793… (див. Шаблон:OEIS2C). Шаблон:Pi визначається як відношення довжини окружності кола Шаблон:Math до його діаметру Шаблон:Math:

$\pi =\frac{C}{d}.$

Або, аналогічним способом, як відношення довжини окружності до двох радіусів. Вищезгадану формулу можна виразити так, щоб знаходити окружність:

$C=\pi \cdot d=2\pi \cdot r.$

Математична константа Шаблон:Pi широко використовується в математиці, техніці, і науці.

У своїй праці Шаблон:Нп, написаній 250 до н. е., Архімед показав, що відношення (Шаблон:Math, хоча він тоді не використовував назву Шаблон:Pi), є більшим за 3Шаблон:Sfrac але меншим за 3Шаблон:Sfrac розраховуючи периметри вписаного і описаного правильного полігону із 96 сторонами. Цей метод наближення значення Шаблон:Pi використовувався століттями, що дозволяло отримувати більшої точності використовуючи полігони з усе більшою і більшою кількістю сторін. Останній подібний розрахунок в 1630 виконав Шаблон:Нп, що використав полігони із 10⁴⁰ сторонами.

Окружність еліпса

Термін окружність використовується іноді для визначення периметру еліпса. Не існує загальної формули для визначення окружності еліпса через велику і малу піввісі еліпса, яка б використовувала лише елементарні функції. Однак, для цих параметрів існують наближені формули. Однією з таких апроксимацій, є формула Ейлера (1773), для конічного еліпса,

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$

це

$C_{\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{e}}\sim \pi \sqrt{2(a^2+b^2)}.$

Деякими нижніми і верхніми межами окружності конічного еліпса із $a\ge b$ є наступні

$C\le 2\pi a,$

$\pi (a+b)\le C\le 4(a+b),$

$4\sqrt{a^2+b^2}\le C\le \pi \sqrt{2(a^2+b^2)}.$

Тут верхньою межею $2\pi a$ є окружність описаного концентричного кола, що проходить через крайні точки великої піввісі еліпса, а нижньою межею $4\sqrt{a^2+b^2}$ є периметр вписаного ромба із вершинами, що лежать на крайніх точках великої і малої півосей.

Окружність еліпса можна точно виразити за допомогою повного еліптичного інтегралу другого роду. Більш точно, ми будемо мати

$C_{\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{e}}=4a\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{1-e^2{\sin }^2\theta }d\theta ,$

де, знову ж таки, $a$ є довжиною великої піввісі і $e$ є ексцентриситетом $\sqrt{1-b^2/a^2}.$

Окружність графу

В теорії графів окружність графу відноситься до найдовшого (простого) циклу, що міститься в графі.

Посилання

• Numericana — Circumference of an ellipse Шаблон:Webarchive Шаблон:Ref-en