Нерівність Юнга

Нерівність Юнга в математиці формулюється так: для будь-яких дійсних чисел $a,b\ge 0$ і $p,q\ge 1$ таких, що $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ справедливо:

$ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$.

Нерівність названа на честь англійського математика Вільяма Юнга.

Доведення

Для $a=0$ чи $b=0$ нерівність очевидна. Для $a>0$, $b>0$ нерівність випливає з опуклості логарифмічної функції: для будь-яких $x_1$, $x_2>0$

$\ln (\alpha x_1+\beta x_2)⩾\alpha \ln x_1+\beta \ln x_2,\mathcal{\alpha },\beta ⩾0,\alpha +\beta =1$.

Взявши в даній нерівності $\alpha =p^{-1},\beta =q^{-1},x_1=a^p,x_2=b^p,$ одержимо, що

$\ln (\frac{a^p}{p}+\frac{b^p}{q})⩾\frac{\ln a^p}{p}+\frac{\ln b^p}{q}=\ln (ab)$,

і остаточно нерівність Юнга одержується за допомогою експоненціювання.

Див. також

• Нерівність Мінковського
• Нерівність Гельдера
• Теорема Юнга

Джерела

• Шаблон:Беккенбах.Беллман