Неперервна функція

Шаблон:Calculus Непере́рвна фу́нкція — в математичному аналізі це функція, у якій малим змінам аргумента відповідають малі зміни значення функції. Це означає, що графік неперервної функції не має стрибків, тобто може бути накреслений «не відриваючи олівець від паперу».

Усі елементарні функції — неперервні на своїй області визначення.

Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі.

Означення

Приклад неперервної функції

Приклад розривної функції в точці $x=2$. Функція не є неперервною зліва точки $x=2$
$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to 2}{x<2}}{\lim }f(x)=2\ne f(2)$ $f$ проте є неперервною справа: : $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to 2}{x>2}}{\lim }f(x)=3=f(2)$ $f$.

Функція $f(x)$ дійсної змінної, яка означена в області $D\subseteq ℝ$, неперервна в точці $x_0\in D$ якщо для довільного $ϵ>0$ знайдеться таке $\delta >0$ (яке залежить від $ϵ$), що з $x\in D,|x-x_0|<\delta$ випливає $|f(x)-f(x_0)|<ϵ.$

Функція $f(x)$ неперервна в області $S\subseteq ℝ$, якщо $f(x)$ неперервна в кожній точці цієї області.

Нехай $A\subset ℝ,f:A\to ℝ,x_0$ — гранична точка множини A.

Означення неперервності в точці x₀

Функція f називається неперервною в точці $x_0$ якщо:

1. функція f(x) визначена в точці x₀.
2. існує границя $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$
3. $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$.

Означення неперервності в точці x₀ за Коші

Функція f називається неперервною в точці $x_0$ якщо:

$\mathrm{\forall }(ϵ>0)\mathrm{\exists }(\delta >0)\mathrm{\forall }x:|x-x_0|<\delta ⟹|f(x)-f(x_0)|<ϵ$

Означення неперервності в точці x₀ за Гайне

Функція f називається неперервною в точці $x_0$ якщо:

$\mathrm{\forall }\{x_n\}:\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=x_0⟹\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=f(x_0)$.

Точки розриву

Якщо умова, що входить у визначення неперервності функції, в деякій точці порушується, то кажуть, що розглянута функція має в даній точці розрив. Інакше кажучи, якщо$A$ —  значення функції $f$в точці $a$, то межа такої функції (якщо він існує) не збігається з $A$. Мовою околів умова розривності функції  $f$ в точці $a$ є запереченням умови неперервності розглянутої функції в даній точці, а саме: існує такий окіл точки $A$ в області значень функції $f$, що як би ми близько не підходили до точки $a$ в області визначення функції $f$завжди знайдуться такі точки, образи яких будуть за межами околу точки $A$.

Класифікація точок розриву в R¹ 

Класифікація розривів функцій $f:X\to Y$залежить від того, як влаштовані множини X та Y. Далі наведено класифікацію для найпростішого випадку функції $f:ℝ\to ℝ$. Подібним чином класифікують і особливі точки  (точки, де функція не визначена).

Якщо функція має розрив в даній точці (тобто границя функції в даній точці відсутня або не збігається зі значенням функції в даній точці), то для числових функцій виникає два можливих варіанти, пов'язаних з існуванням у числових функцій односторонніх границь:

• якщо обидві односторонні границі існують і скінченні, то таку точку називають точкою розриву першого роду. До точок розриву першого роду відносять усувні розриви і стрибки.
• якщо хоча б одна з односторонніх границь не існує або не є скінченою величиною, то таку точку називають точкою розриву другого роду. До точок розриву другого роду відносять полюси і точки суттєвого розриву.

Усувна точка розриву

Якщо границя функції існує і скінченна, але функція не визначена в цій точці, або границя не збігається зі значенням функції в даній точці: $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}f(x)\ne f(a)$, то точка $a$ називається точкою усувного розриву функції $f$ (в комплексному аналізі — усувна особлива точка). Якщо «виправити» функцію $f$ у точці усувного розриву і покласти $f(a)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}f(x)$, то вийде функція, неперервна в даній точці. Така операція над функцією називається довизначенням функції до неперервної або довизначенням функції за неперервністю, що і обґрунтовує назву точки, як точки усувного розриву.

Точка розриву «стрибок»

Розрив «стрибок» виникає, якщо

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a-0}f(x)\ne \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a+0}f(x)$.

Точка розриву «полюс»

Розрив «полюс» виникає, якщо одна з односторонніх границь нескінченна.

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a-0}f(x)=\pm \mathrm{\infty }$ або $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a+0}f(x)=\pm \mathrm{\infty }$.

Точка суттєвого розриву

У точці суттєвого розриву одна з односторонніх границь взагалі відсутня.

Класифікація ізольованих особливих точок в Rⁿ, n>1

Для функцій $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ та $f:ℂ\to ℂ$ немає потреби працювати з точками розриву, але нерідко доводиться працювати з особливими точками (точками, де функція не визначена). Класифікація подібна.

• Якщо $\mathrm{\exists }\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}f(x)$, то це усувна особлива точка (аналогічно функції дійсного аргументу).
• Полюс визначається як $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}f(x)=\mathrm{\infty }$. В багатовимірних просторах, якщо модуль числа росте, вважається, що $f(x)\to \mathrm{\infty }$, яким шляхом б він не ріс.
• Якщо границя взагалі не існує, це суттєва особлива точка.

Поняття «стрибок» відсутнє. Те, що в $ℝ$ вважається стрибком, в просторах більших розмірностей — суттєва особлива точка.

Властивості

Локальні

• Функція, неперервна в точці $a$, є обмеженою в деякому околі цієї точки.
• Якщо функція $f$ неперервна в точці $a$ і $f(a)>0$ (або $f(a)<0$), то $f(x)>0$ (або $f(x)<0$) для всіх$x$, досить близьких до $a$.
• Якщо функції $f$ та $g$ неперервні в точці $a$,то функції $f+g$ та $f\cdot g$ теж неперервні в точці $a$.
• Якщо функції $f$ та $g$ неперервні в точці $a$ і при цьому $g(a)\ne 0$, то функція $f/g$ теж неперервна в точці $a$.
• Якщо функція $f$ неперервна в точці $a$ та функція $g$ неперервна в точці $b=f(a)$, то їх композиція $h=g\circ f$ неперервна в точці $a$.

Глобальні

• Функція, неперервна на відрізку (або будь-якій іншій компактній множині), рівномірно неперервна на ньому.
• Функція, неперервна на відрізку (або будь-якій іншій компактній множині), обмежена і досягає на ній своє максимальне і мінімальне значення.Шаблон:Main
• Областю значень функції $f$, неперервної на відрізку $[a,b]$, є відрізок $[\min f,\max f],$ де мінімум і максимум беруться по відрізку $[a,b]$.
• Якщо функція $f$ неперервна на відрізку $[a,b]$ та $f(a)\cdot f(b)<0,$ то існує точка $\xi \in (a,b),$ в якій $f(\xi )=0$.
• Якщо функція $f$ неперервна на відрізку $[a,b]$ і число $\phi$ задовольняє нерівності $f(a)<\phi <f(b)$ або нерівності $f(a)>\phi >f(b),$ то існує точка $\xi \in (a,b),$ у котрій $f(\xi )=\phi$.
• Неперервне відображення відрізка в дійсну пряму ін'єктивне в тому і тільки в тому випадку, коли дана функція на відрізку строго монотонна .
• Монотонна функція на відрізку $[a,b]$ неперервна в тому і тільки в тому випадку, коли область її значень є відрізком з кінцями $f(a)$ та $f(b)$.
• Якщо функції $f$ и $g$ неперервні на відрізку $[a,b]$ , причому $f(a)<g(a)$ та $f(b)>g(b),$ то існує точка $\xi \in (a,b),$ в якій $f(\xi )=g(\xi ).$ Звідси, зокрема, випливає, що будь-яке неперервне відображення відрізка в себе має хоча б одну нерухому точку.

Топологічні

Вивчення топологічних властивостей неперервних функцій відбувається шляхом їх розшарування на гомотопічні класи, де кожний клас складається з функцій, які можуть неперервно деформуватися одна в одну. Нехай $X$ та $Y$ — топологічні простори, а $f_0(x)$ та $f_1(x)$ — неперервні функції, які відображають $X$ в $Y$. Відзначимо одиничний інтервал $I$ на дійсній прямій $0⩽t⩽1.$ Тоді функції $f_0(x)$ та $f_1(x)$ є гомотопними, якщо існує неперервна функція $F(x,t)$, яка відображає $X\times I$ у $Y$, для якої $F(x,0)=f_0(x),$ а $F(x,1)=f_1(x).$ Неперервна функція $F(x,t)$, яка описує неперервну деформацію функції $f_0(x)$ у $f_1(x)$, називається гомотопією. Кожний гомотопічний клас характеризується степенем відображення $n,$ яку називають топологічним індексом. Усі функції, які відображають $X$ у $Y$, можна розбити на гомотопічні класи, такі, що дві функції належать одному класові, якщо вони є гомотопними.

Приклади

Елементарні функції

Довільні многочлени, раціональні функції, показові функції, логарифми, тригонометричні функції (прямі і зворотні) неперервні скрізь у своїй області визначення.

Функція з усувним розривом

Функція $f:ℝ\to ℝ,$ задається формулою

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$

неперервна в будь-якій точці $x\ne 0.$ Точка $x=0$ є точкою усувного розриву, бо границя функції

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0}f(x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\ne f(0).$

Функція знака

функція

$f(x)=\mathrm{sgn}x=\{\begin{array}{cc}-1,& x<0\\ 0,& x=0\\ 1,& x>0\end{array},x\in ℝ$

називається функцією знака.

Ця функція неперервна в кожній точці $x\ne 0$.

Точка $x=0$ є точкою розриву першого роду, причому

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0-}f(x)=-1\ne 1=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0+}f(x)$, в той час як в самій точці функція обертається в нуль.

Ступінчаста функція

Ступінчаста функція, яка визначається як

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x⩾0\\ 0,& x<0\end{array},x\in ℝ$

є всюди неперервна, крім точки $x=0$, де функція терпить розрив першого роду. Проте, в точці $x=0$ існує правобічна границя, яка збігається зі значенням функції в даній точці. Таким чином, дана функція є прикладом неперервної справа функції на всій області визначення .

Аналогічно, ступінчаста функція, яка визначається як

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x>0\\ 0,& x⩽0\end{array},x\in ℝ$

є прикладом неперервної зліва функції на всій області визначення .

Функція Діріхле

Шаблон:Main функція

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x\in \mathbb{Q}\\ 0,& x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}\end{array}$

називається функцією Діріхле . По суті, функція Діріхле — це характеристична функція множини раціональних чисел . Ця функція є всюди розривною функцією, оскільки на кожному інтервалі існують як раціональні, так і ірраціональні числа.

Функція Рімана

функція

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{n},& x=\frac{m}{n}\in \mathbb{Q},(m,n)=1\\ 0,& x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}\end{array}$

називається функцією Рімана або функцією Тома.

Ця функція є неперервною всюди у множині ірраціональних чисел ($ℝ\setminus \mathbb{Q}$), оскільки границя функції в кожній точці дорівнює нулю.

Варіації і узагальнення

Рівномірна неперервність

Функція $f$ називається рівномірно неперервної на $E$, якщо для будь-якого $\epsilon >0$ існує $\delta >0$ таке, що для будь-яких двох точок $x_1$ і $x_2$ яких, що $|x_1-x_2|<\delta$, виконується $|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$.

Кожна рівномірно неперервна на множині $E$ функція, очевидно, є також і неперервною на ньому. Зворотне, взагалі кажучи, невірно. Однак, якщо область визначення — компакт, то неперервна функція виявляється також і рівномірно неперервною на даному відрізку.

Напівнеперервність

Шаблон:MainІснує дві симетричні одна до одної властивості — напівнеперервна знизу і напівнеперервна зверху :

• функція $f$ напівнеперервна знизу в точці $a$, якщо для будь-якого $\epsilon >0$ існує така околиця $U_E(a)$, що $f(x)>f(a)-\epsilon$ для будь-якого $x\in U_E(a)$;
• функція $f$ називається напівнеперервна зверху в точці $a$, якщо для будь-якого $\epsilon >0$ існує такий окіл точки $U_E(a)$, що $f(x)<f(a)+\epsilon$ для будь-якого $x\in U_E(a)$.

Між неперервністю і напівнеперервністю є такий зв'язок:

• якщо взяти функцію $f$, неперервну в точці $a$, і зменшити значення $f(a)$ (на кінцеву величину), то ми отримаємо функцію, напівнеперервну знизу в точці $a$;
• якщо взяти функцію $f$, неперервну в точці $a$, і збільшити значення $f(a)$ на кінцеву величину), то ми отримаємо функцію, напівнеперервну зверху в точці $a$.

Відповідно до цього можна допустити для напівнеперервних функцій нескінченні значення:

• якщо $f(a)=-\mathrm{\infty }$, то будемо вважати таку функцію напівнеперервна знизу в точці $a$;
• якщо $f(a)=+\mathrm{\infty }$,то будемо вважати таку функцію напівнеперервна зверху в точці $a$.

Одностороння неперервність

Функція $f$ називається односторонньо неперервною зліва (справа) в кожній точці $x_0$ її області визначення, якщо для односторонньої границі виконується рівняння: $f(x_0)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0-}f(x)$ $(f(x_0)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0+}f(x)).$

Неперервність майже всюди

На дійсній прямій зазвичай розглядається проста лінійна міра Лебега. Якщо функція $f$ така, що вона неперервна всюди на $E$, крім, можливо, множини міри нуль, то така функція називається неперервною майже всюди .

У тому випадку, коли множина точок розриву функції не більше ніж зліченна, ми отримуємо клас інтегрованих за Ріманом функцій (див. Критерій інтегрованості функції за Ріманом).

Див. також

• Теорема Больцано — Коші
• Лінійний неперервний оператор
• Абсолютна неперервність
• Простір неперервних функцій
• Принцип неперервності

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Завало.Елементи аналізу. Алгебра многочленів.
• Шаблон:УСЕ-4
• Шаблон:Клепко ВМ