Многочлени Бернуллі

У математиці, Многочлени Бернуллі — многочлени, названі на честь Якоба Бернуллі, що виникають при вивченні багатьох спеціальних функцій, зокрема ζ-функції Рімана і ζ-функції Гурвіца, також є окремим випадком послідовності Аппеля. На відміну від ортогональних многочленів, многочлени Бернуллі визначні тим, що число коренів в інтервалі $[0,1]$ не збільшується із зростанням степеня многочлена. При необмеженому збільшенні степеня, многочлени Бернуллі наближаються до тригонометричних функцій.

Подібний набір многочленів, заснований на твірній функції, називають сімейством многочленів Ейлера.

Визначення

Многочлени Бернуллі $B_n(x)$ можна визначити різними способами. Вибір визначення залежить від зручності в тому або іншому випадку.

Явна формула

$B_n(x)=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{B}_{n-k}{x}^k$, де $C_n^k$ — біноміальні коефіцієнти, $B_k$ — числа Бернуллі.

Або

$B_n(x)=\sum _{m=0}^n\frac{1}{m+1}\sum _{k=0}^m(-1{)}^k{C}_m^k(x+k{)}^n.$

Генератриса

Генератриса для многочленів Бернуллі рівна:

$\frac{t{e}^{xt}}{e^t-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_n(x)\frac{t^n}{n!}.$

Генератриса для многочленів Ейлера рівна:

$\frac{2e^{xt}}{e^t+1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{E}_n(x)\frac{t^n}{n!}.$

Представлення диференціальним оператором

$B_n(x)=\frac{D}{e^D-1}{x}^n$, де ${\displaystyle }$ — оператор формального диференціювання.

Визначення за допомогою інтегрального оператора

Многочлени Бернуллі є єдиними многочленами, що задовольняють рівняння

$\underset{x}{\overset{x+1}{\int }}{B}_n(u)du=x^n.$

Інтегральний оператор

$(Tf)(x)=\underset{x}{\overset{x+1}{\int }}f(u)du$

для многочленів f, приймає ті ж значення, що й

$\begin{array}{cc}(Tf)(x)=\frac{e^D-1}{D}f(x)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{D^n}{(n+1)!}f(x)\\ & =f(x)+\frac{f^{\prime }(x)}{2}+\frac{f^{″}(x)}{6}+\frac{f^{‴}(x)}{24}+\cdots .\end{array}$

Явний вигляд для найменших степенів

Многочленами Бернуллі для найменших степенів є:

$B_0(x)=1,$

$B_1(x)=x-\frac{1}{2},$

$B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6},$

$B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x,$

$B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30},$

$B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}{x}^4+\frac{5}{3}{x}^3-\frac{1}{6}x,$

$B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{42}.$

Властивості

Значення в нулі

Значення многочленів Бернуллі при $x=0$ рівні відповідним числам Бернуллі:

$B_n(0)=B_n$.

Диференціювання і інтегрування

$B{\text{'}}_n(x)=n{B}_{n-1}(x)$.

Невизначені інтеграли:

$\underset{a}{\overset{x}{\int }}{B}_n(t)dt=\frac{B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}$

Визначені інтеграли:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{B}_n(t)B_m(t)dt=(-1{)}^{n-1}\frac{m!n!}{(m+n)!}{B}_{n+m}m,n\ge 1$

Множення аргументу

$B_n(mx)=m^{n-1}\sum _{s=0}^{m-1}{B}_n(x+\frac{s}{m})$.

Сума аргументу

$B_n(x+y)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})B_k(x)y^{n-k}$

Симетрія

$B_n(1-x)=(-1{)}^n{B}_n(x),$

$(-1{)}^n{B}_n(-x)=B_n(x)+n{x}^{n-1}.$

Ряд Фур'є

Ряди Фур'є для многочленів Бернуллі є також рядами Діріхле:

$B_n(x)=-\frac{n!}{(2\pi i{)}^n}\sum _{k=0}\frac{e^{2\pi ikx}}{k^n}=-2n!\sum _{k=1}\frac{\cos (2k\pi x-\frac{n\pi }{2})}{(2k\pi {)}^n}.$

Цей розклад справедливий коли 0 ≤ x ≤ 1 для n ≥ 2 і у випадку 0 < x < 1 для n = 1.

Обертання

$x^n=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})B_k(x)$

Посилання

• Kurtulan, Ali Burak "Bernoulli Polynomials and Their Applications"Шаблон:Недоступне посилання

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York.
• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3
• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. pp. 495–519. ISBN 0-521-84903-9.