Многочлен поділу кола

Многочлен поділу кола — многочлен, що має вигляд:

${\mathrm{\Phi }}_n(X)=\prod _{\omega }(X-\omega )$

де $\omega$ — первісні корені степеня n з одиниці і добуток береться за всіма такими коренями. Степінь многочлена ${\mathrm{\Phi }}_n(X)$ — кількість натуральних чисел, менших, ніж n, і взаємно простих з n.

Властивості

Многочлени поділу кола задовольняють співвідношенню:

$\prod _{d\mid n}{\mathrm{\Phi }}_d(X)=X^n-1$

де добуток береться за всіма додатними дільниками d числа n, включно зі самим n. Це співвідношення дозволяє рекурсивно обчислювати многочлени ${\mathrm{\Phi }}_n(X)$ шляхом ділення многочлена $X^n-1$ на добуток усіх ${\mathrm{\Phi }}_n(X),d<n,d\mid n$:

${\mathrm{\Phi }}_n(X)=\frac{X^n-1}{\prod _{d|n}{\mathrm{\Phi }}_d(X)}$

При цьому коефіцієнти многочлена належать початковому полю P, а у випадку поля раціональних чисел — коефіцієнти є цілими числами.

Якщо n=p^m — степінь простого числа і характеристика поля P рівна нулю то:

${\mathrm{\Phi }}_n(X)=\sum _{0\le k\le p-1}{X}^{k{p}^{m-1}}.$

Зокрема для m = 1:

${\mathrm{\Phi }}_p(X)=1+X+X^2+\cdots +X^{p-1}.$

Для многочлена ${\mathrm{\Phi }}_n(X)$ можна подати явну формулу через функцію Мебіуса μ:

$\prod _{d\mid n}(X^d-1{)}^{\mu (n/d)}={\mathrm{\Phi }}_n(X)$

Наприклад:

${\mathrm{\Phi }}_{12}(X)=(X^{1}2-1)(X^6-1{)}^{-1}(X^4-1{)}^{-1}(X^3-1{)}^0(X^3-1)(X^1-1{)}^0=X^4-X^2+1$

Над полем раціональних чисел усі многочлени ${\mathrm{\Phi }}_n(X)$ є незвідними, але над скінченними полями ці многочлени можуть розкладатися на множники. Так, над полем лишків за модулем 11 виконується рівність: ${\mathrm{\Phi }}_{12}(X)=X^4-X^2+1=(X^2+5X^1+1)(X^2-5X+1).$

Рівняння поділу кола

Рівняння ${\mathrm{\Phi }}_n(X)=0$, що дає всі первісні корені степеня n з одиниці, називаються рівнянням поділу кола. У випадку числових полів розв'язок цього рівняння в тригонометричній формі має вигляд:

${\xi }_n^k=\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n}$

де дріб $\frac{k}{n}$ нескоротний, тобто k і n — взаємно прості. Розв'язування в радикалах рівняння поділу кола тісно пов'язане із задачею побудови правильного n-кутника або з еквівалентною їй задачею поділу кола на n рівних частин, а саме, задача поділу кола на n частин розв'язується за допомогою циркуля та лінійки тоді і тільки тоді, коли рівняння ${\mathrm{\Phi }}_n(X)=0$ розв'язується в квадратних радикалах.

Приклади

${\mathrm{\Phi }}_1(X)=X-1$

${\mathrm{\Phi }}_2(X)=X+1$

${\mathrm{\Phi }}_3(X)=X^2+X+1$

${\mathrm{\Phi }}_6(X)=X^2-X+1$

${\mathrm{\Phi }}_9(X)=X^6+X^3+1$

${\mathrm{\Phi }}_{15}(X)=X^8-X^7+X^5-X^4+X^3-X+1$

Джерела

• Шаблон:Артін. Теорія Галуа
• Шаблон:Ван.дер.Варден.Алгебра
• Шаблон:Винберг.Курс алгебры