Многочлен Джонса

Шаблон:Універсальна картка Многочлен Джонса — поліноміальний інваріант вузла, який зіставляє кожному вузлу або зачепленню многочлен Лорана від формальної змінної $t^{1/2}$ з цілими коефіцієнтами. Побудував Воен Джонс в 1984 році.

Визначення через дужку Кауфмана

Для заданого орієнтованого зачеплення $L$ визначається допоміжний многочлен:

$X(L)=(-A^3{)}^{-w(L)}⟨L⟩$,

де $w(L)$ — число закрученості діаграми $L$, а $⟨L⟩$ — дужка Кауфмана. Число закрученості визначається як різниця між числом додатних перехресть $L_{+}$ і числом від'ємних перехресть $L_{-}$ і не є інваріантом вузла: воно не зберігається під час перетворень Рейдемейстера I типу.

$X(L)$ — інваріант вузла, оскільки він інваріантний відносно всіх трьох перетворень Рейдемейстера діаграми $L$. Інваріантність відносно перетворень II і III типів випливає з інваріантності дужки Кауфмана і числа закрученості відносно цих перетворень. Навпаки, для перетворення I типу дужка Кауфмана множиться на $-A^{\pm 3}$, що точно компенсується зміною на +1 або -1 числа закрученості $w(L)$.

Многочлен Джонса визначається з $X(L)$ підстановкою:

$A=t^{-1/4}$,

кінцевий вираз є многочленом Лорана від змінної $t^{1/2}$.

Визначення через представлення групи кіс

Оригінальне визначення Джонса використовує операторну алгебру і поняття сліду подання кіс, що виникло в статистичній механіці (Шаблон:Не перекладено).

Шаблон:Не перекладено стверджує, що будь-яке зачеплення $L$ є замиканням коси з $n$ нитками, тому можна визначити подання $\rho$ групи кіс $B_n$ з $n$ нитками на алгебрі Темперлі — Ліба $T{L}_n$ з коефіцієнтами з $\mathbb{Z}[A,A^{-1}]$ і $\delta =-A^2-A^{-2}$. Стандартна твірна коси ${\sigma }_i$ дорівнює $A\cdot e_i+A^{-1}\cdot 1$, де $1,e_1,e_2,...,e_{n-1}$ — стандартні твірні алгебри Темперлі — Ліба. Для слова $\sigma$ коси $L$ обчислюється ${\sigma }^{n-1}tr\rho (\sigma )$, де $tr$ — слід Маркова, в результаті отримуємо $⟨L⟩$, де $⟨$ $⟩$ — дужковий поліном.

Перевага цього підходу полягає в тому, що вибравши аналогічні подання в інших алгебрах, таких як подання $R$-матриць, можна прийти до узагальнень інваріантів Джонса (наприклад, таким є поняття $k$-паралельного полінома Джонса).

Визначення через скейн-співвідношення

Многочлен Джонса однозначно задається тим, що він дорівнює 1 на будь-якій діаграмі тривіального вузла, і таким скейн-співвідношенням:

$(t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_0)=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})$,

де $L_{+}$, $L_{-}$, і $L_0$ — три орієнтованих діаграми зачеплення, що збігаються скрізь, крім малої ділянки, де їхня поведінка відповідно є додатним і від'ємним перетинами і гладким проходом без спільних точок:

Кольоровий многочлен Джонса

Для додатного цілого числа $N$, $N$-колірний многочлен Джонса $V_N(L,t)$ — це узагальнення многочлена Джонса. Це Шаблон:Нп, пов'язаний із $(N+1)$-незвідним представленням Шаблон:Нп $U_q({𝔰𝔩}_2)$. У цій схемі многочлен Джонса є 1-колірним многочленом Джонса, інваріантом Решетіхіна — Тураєва, пов'язаним із стандартним представленням (незвідним і двовимірним) $U_q({𝔰𝔩}_2)$. Вважають, що нитки зачеплення «забарвлені» представленням, звідси й назва.

Загальніше, якщо дано зачеплення $L$ із $k$ компонентів і представлення $V_1,\dots ,V_k$ з $U_q({𝔰𝔩}_2)$, то $(V_1,\dots ,V_k)$-колірний многочлен Джонса $V_{V_1,\dots ,V_k}(L,t)$ — це інваріант Решетіхіна — Тураєва, пов'язаний із $V_1,\dots ,V_k$ (тут ми припускаємо, що компоненти впорядковані). За наявності двох представлень $V$ і $W$, кольорові многочлени Джонса задовольняють такі дві властивості:

• $V_{V\oplus W}(L,t)=V_V(L,t)+V_W(L,t)$,
• $V_{V\otimes W}(L,t)=V_{V,W}(L^2,t)$, де $L^2$ позначає Шаблон:Прояснити двох $L$.

Ці властивості виводяться з того факту, що кольорові многочлени Джонса є інваріантами Решетіхіна — Тураєва.

Нехай $K$ — вузол. Згадаймо, що, розглядаючи діаграму $K$ як елемент алгебри Темперлі-Ліба завдяки дужці Кауфмана, можна відновити многочлен Джонса від $K$. Подібно, $N$-колірний многочлен Джонса для $K$ можна комбінаторно описати за допомогою ідемпотентів Джонса — Венцля так:

• візьмемо $N$-кабельну суму $K^N$ вузлів $K$;
• розглянемо її як елемент алгебри Темперлі — Ліба;
• вставимо ідемпотенти Джонса — Венцля в деякі $N$ паралельних ниток.

Отриманий елемент $\mathbb{Q}(t)$ є $N$-колірним многочленом Джонса.

Зв'язок з іншими теоріями

Шаблон:Нп описує топологічний порядок у станах дробового квантового ефекту Холла. З точки зору математики теорія Черна — Саймонса цікава тим, що дозволяє обчислювати інваріанти вузлів, такі як многочлен Джонса.

2000 року Шаблон:Нп побудував ланцюговий комплекс для вузлів і зачеплень і показав, що гомології цього комплексу є інваріантом вузлів (Шаблон:Не перекладено). Ця теорія гомологій є категорифікацією многочлена Джонса, тобто многочлен Джонса є ейлеровою характеристикою для цієї гомології.

Властивості

Многочлен Джонса має багато чудових властивостей.

Для зачеплень з непарним числом компонент (зокрема, для вузлів) усі степені змінної $t$ у многочлені Джонса цілі, а для зачеплень з парним числом компонент — напівцілі.

Многочлен Джонса зв'язної суми вузлів дорівнює добутку поліномів Джонса доданків, тобто:

$V(L_1\mathrm{\#}{L}_2)=V(L_1)V(L_2)$.

Многочлен Джонса незв'язної суми вузлів дорівнює:

$V(L_1\cup L_2)=-(t^{-1/2}+t^{1/2})V(L_1)V(L_2)$.

Многочлен Джонса об'єднання зачеплення $L$ і тривіального вузла дорівнює:

$V(L\cup O)=-(t^{-1/2}+t^{1/2})V(L)$.

Для $L^{{*}_k}$ орієнтованого зачеплення, одержаного із заданого орієнтованого зачеплення $L$ заміною орієнтації деякої компоненти $k$ на протилежну, має місце:

$V_{L^{*}}=t^{-3\cdot \lambda }\cdot V(L)$,

де $\lambda$ — це коефіцієнт зачеплення компоненти $k$ і $L-k$.

Многочлен Джонса не змінюється за обернення вузла, тобто після заміни напрямку обходу на протилежний (зміні орієнтації).

Дзеркально-симетричний образ зачеплення має многочлен Джонса, отримуваний заміною $t$ на $t^{-1}$ (властивість легко перевірити з використанням визначення через дужку Кауфмана).

Якщо $K$ — вузол, то:

$V_K(e^{2\pi i/3})=1$.

Значення многочлена Джонса для вузла $L$ з числом компонент зачеплення $p$ в точці 1:

$V_L(1)=(-2{)}^{p-1}$.

Многочлен Джонса $(m,n)$-торичного вузла:

$V(t)=\frac{t^{\frac{(m-1)\cdot (n-1)}{2}}\cdot (1-t^{m+1}-t^{n+1}+t^{m+n})}{1-t^2}$.

Відкриті проблеми

2003 року побудовано сімейство нетривіальних зачеплень із многочленом Джонса рівним многочлену Джонса тривіального зачеплення, при цьому невідомо, чи існує нетривіальний вузол, многочлен Джонса якого є таким самим, як у тривіального вузла. 2017 року побудовано сімейство нетривіальних вузлів $K_r$ з $20\cdot 2^{r-1}+1$ перетинами, для яких многочлен Джонса $V(K_r)$ порівнянний з одиницею за модулем $2^r$.

Див. також

• Квантовий інваріант
• Многочлен HOMFLY

Література

• Шаблон:Книга