Матриця Сильвестра

В математиці, матрицею Сильвестра називають матрицю елементами якої є нулі, а також певним чином розмішені коефіцієнти двох многочленів.

Означення

Нехай p і q два многочлени, степенів m і n. Візьмемо:

$p(z)=p_0+p_{1}z+p_2{z}^2+\cdots +p_m{z}^m,q(z)=q_0+q_{1}z+q_2{z}^2+\cdots +q_n{z}^n.$

Матрицею Сильвестра для многочленів p і q є матриця розмірності $(n+m)\times (n+m)$ одержана таким чином:

• елементами першого рядка є:

$\left(\begin{array}{cccccccc}{p}_m& p_{m-1}& \cdots & p_1& p_0& 0& \cdots & 0\end{array}\right).$

• другий рядок одержується з першого переміщенням елементів на одну позицію вправо; перший елемент рядка рівний нулю.
• наступні (n-2) рядків одержуються подібним чином.
• (n+1)-ий рядок має вигляд:

$\left(\begin{array}{cccccccc}{q}_n& q_{n-1}& \cdots & q_1& q_0& 0& \cdots & 0\end{array}\right).$

• Наступні рядки формуються у вже згаданий спосіб.

Наприклад якщо m=4 і n=3, одержуємо наступну матрицю:

$S_{p,q}=\left(\begin{array}{ccccccc}{p}_4& p_3& p_2& p_1& p_0& 0& 0\\ 0& p_4& p_3& p_2& p_1& p_0& 0\\ 0& 0& p_4& p_3& p_2& p_1& p_0\\ q_3& q_2& q_1& q_0& 0& 0& 0\\ 0& q_3& q_2& q_1& q_0& 0& 0\\ 0& 0& q_3& q_2& q_1& q_0& 0\\ 0& 0& 0& q_3& q_2& q_1& q_0\end{array}\right).$

Визначник матриці Сильвестра

Теорема Визначник матриці Сильвестра многочленів p і q рівний результанту цих многочленів, де результант визначається як:

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(p,q)=p_m^n{q}_n^m\prod _{1⩽i⩽m,1⩽j⩽n}({\beta }_j-{\alpha }_i),$ де ${\alpha }_j$ — корені многочлена p в алгебраїчному замиканні поля, а ${\beta }_j$ — корені многочлена q в алгебраїчному замиканні поля.

Доведення

Розглянемо систему рівнянь

$x^{m-1}p(x)=0$

$x^{m-2}p(x)=0$

$\dots$

$p(x)=0$

$x^{n-1}q(x)=0$

$x^{n-2}q(x)=0$

$\dots$

$q(x)=0$

Дана система є системою n+m лінійних рівнянь щодо $x^{m+n-1},x^{m+n-2},\dots ,1$ матрицею яких є матриця Сильвестра. Очевидно, якщо многочлени p і q мають спільний корінь то визначник матриці Сильвестра рівний нулю. Далі оскільки визначник є многочленом від коефіцієнтів многочленів p і q він є також многочленом від їх коренів. Якщо хоч для однієї з n•m пар виконується:

${\alpha }_i-{\beta }_j=01\le i\le m,1\le j\le n$

то визначник дорівнюватиме нулю, а значить, як многочлен від коренів многочленів він повинен ділитися на добуток цих різниць, тобто результант є дільником визначника Сильвестра, як многочлен від ${\alpha }_i,{\beta }_j.$ Проте розписуючи коефіцієнти многочлена через його корені і підставляючи в формулу визначника бачимо, що степінь ${\beta }_j$ не може бути більшою ніж m, а степінь ${\alpha }_i$ не може бути більшою ніж n; також не важко бачити, що, наприклад, коефіцієнти біля ${\beta }_j^m$ в результанта і визначника Сильвестра збігаються і дорівнюють $p_m^n{q}_n^m\prod _{i=1}^m{\alpha }_i^{n-1}$ Звідси і випливає рівність результанта і визначника Сильвестра.

Застосування

Розвязки лінійних рівнянь

${S_{p,q}}^{\mathrm{T}}\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

де $x$ є вектором розмірності $n$ і $y$ вектор розмірності $m$, є векторами коефіцієнтів єдиних поліномів $x,y$ (степенів $n-1$ і $m-1$, відповідно) що задовольняють рівність

$x\cdot p+y\cdot q=0$

(в даному рівнянні добуток і сума здійснюються для поліномів). Відповідно ядро транспонованої матриці Сильвестра дає всі розв'язки рівняння Безу $\mathrm{deg}x<\mathrm{deg}q$ and $\mathrm{deg}y<\mathrm{deg}p$.

Як наслідок ранг матриці Сильвестра визначає степінь найбільшого спільного дільника многочленів p і q.

$\mathrm{deg}(\gcd (p,q))=m+n-\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}{S}_{p,q}$м

Джерела

• Шаблон:Хорн.Джонсон.Матричний аналіз
• Eric W. Weisstein, Sylvester Matrix Шаблон:Webarchive на сайті MathWorld