Ланцюговий комплекс

Ланцюговий комплекс — основне поняття гомологічної алгебри.

Ланцюговий комплекс

Ланцюговим комплексом називається послідовність $(K_{\bullet },{\partial }_{\bullet })$ модулів і гомоморфізмів ${\partial }_n:K_n\to K_{n-1}$, що називаються граничними операторами або диференціалами

$\dots \stackrel{}{\leftarrow }{K}_{n-1}\stackrel{{\partial }_n}{\leftarrow }{K}_n\stackrel{{\partial }_{n+1}}{\leftarrow }{K}_{n+1}\stackrel{}{\leftarrow }\dots$

така що ${\partial }_n{\partial }_{n+1}=0$. Елементи $K_n$ називаються n-мірними ланцюгами, елементи ядра $Z_{n}K=Ker{\partial }_n$ — n-вимірними циклами, елементи образа $B_{n}K=Im{\partial }_{n+1}$— n-вимірними границями. З ${\partial }_n{\partial }_{n+1}=0$ випливає, що $B_{n}K\subset Z_{n}K$ (т.зв. напівточність). Якщо до того ж $B_{n}K=Z_{n}K$, то такий комплекс називається точним.

Ланцюгові комплекси модулів над фіксованим кільцем утворюють категорію з мофізмами ${\phi }_{\bullet }:(K_{\bullet },\underset{\bullet }{\overset{K}{\partial }})\to (L_{\bullet },\underset{\bullet }{\overset{L}{\partial }})$, де ${\phi }_{\bullet }$ послідовність морфізмів ${\phi }_n:K_n\to L_n$, така що ${\phi }_n$ комутує з диференціалом, тобто $\underset{n}{\overset{L}{\partial }}{\phi }_n={\phi }_{n-1}\underset{n}{\overset{K}{\partial }}$.

Коланцюговий комплекс

Коланцюговий комплекс — поняття, двоїсте ланцюговому комплексу. Він визначається як послідовність модулів $({\mathrm{\Omega }}^{\bullet },d^{\bullet })$ і гомоморфізмов $d^n:{\mathrm{\Omega }}^n\to {\mathrm{\Omega }}^{n+1}$, таких що

$d^{n+1}{d}^n=0$

Коцепной комплекс, як і ланцюговий, є напівточною послідовністю.

$\dots \stackrel{}{\to }{\mathrm{\Omega }}^{n-1}\stackrel{d^{n-1}}{\to }{\mathrm{\Omega }}^n\stackrel{d^n}{\to }{\mathrm{\Omega }}^{n+1}\stackrel{d^{n+1}}{\to }\dots$

Властивості і поняття, пов'язані з коланцюговими комплексами, двоїсті аналогічним поняттям і властивостям ланцюгових комплексів.

Гомології і когомології

n-вимірна група гомологій $H_n$ ланцюгового комплексу $(K_{\bullet },{\partial }_{\bullet })$ є його мірою точності в n-ому члені і визначається як

$H_n(K_{\bullet },{\partial }_{\bullet })=B_n(K)/Z_n(K)=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{\partial }_n/\mathrm{I}\mathrm{m},{\partial }_{n+1}$. Для точного комплексу $H_n=0$

Аналогічно визначається n-вимірна група когомологій коланцюгового комплексу:

$H^n({\mathrm{\Omega }}^{\bullet },d^{\bullet })=B^n/Z^n=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{d}^n/\mathrm{I}\mathrm{m},d^{n-1}$

Приклади

Симпліційна гомологія

Шаблон:Main Нехай маємо симпліційний комплекс K.

Визначимо C_n(K) для натурального числа n вільну абелеву групу породжену n-симплексами комплекса K і граничне відображення:

${\partial }_n:C_n(K)\to C_{n-1}(K):([v_0,\dots ,v_n]\mapsto \sum _{i=0}^n(-1{)}^i\sigma ([v_0,\dots ,{\hat{v}}_i,\dots ,v_n]),$

Виконується властивість ∂² = 0, отже $(C_{\bullet },{\partial }_{\bullet })$ є ланцюговим комплексом; симпліційна гомологія $H_{\bullet }(X)$ визначається:

$H_n(X)=\ker {\partial }_n/\text{im }{\partial }_{n+1}.$

Когомологія де Рама

Шаблон:Main Диференціальні k-форми на будь-якому гладкому многовиді M утворюють векторний простір, що позначається Ω^k(M). Зовнішня похідна d_k є відображенням з Ω^k(M) в Ω^k+1(M), і d ² = 0, отже простори k-форм із зовнішньою похідною утворюють коланцюговий комплекс:

${\mathrm{\Omega }}^0(M)\stackrel{d_0}{\to }{\mathrm{\Omega }}^1(M)\to {\mathrm{\Omega }}^2(M)\to {\mathrm{\Omega }}^3(M)\to \cdots .$

Гомологією цього комплексу є когомологія де Рама:

$H_{\mathrm{D}\mathrm{R}}^k(M)=\ker d_k/\mathrm{i}\mathrm{m}{d}_{k-1}.$

Гомоморфізми ланцюгових комплексів

Гомоморфізмом ланцюгових комплексів $(A_{\bullet },{\delta }_{\bullet })$ і $(B_{\bullet },{\gamma }_{\bullet })$ називається таке відображення $f:A_n\to B_n,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},$ що наступна діаграма є комутативною:

Гомоморфізм ланцюгових комплексів індукує гомоморфізм їх груп гомологій.

Ланцюгова гомотопія

Шаблон:Main Ланцюгова гомотопія $D:X\to Y$ між гомоморфізмами комплексів $f$ і $g$ — гомоморфізм ланцюгових комплексів $(X_{\bullet },{\partial }_{\bullet })$ і $(Y_{\bullet },{\delta }_{\bullet })$ ступеня +1 (тобто $D_k:X_k\to Y_{k+1}$), для якого

$\delta D+D\partial =g-f$

${\delta }_{k+1}{D}_k+D_{k-1}{\partial }_k=g_k-f_k$

Для коланцюгових комплексів відповідна комутативна діаграма має вигляд.

Див. також

• Ланцюг (алгебрична топологія)

Література

• Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра, — Москва: Издательство Иностранной Литературы, 1960.
• Маклейн С. Гомология, — Москва: Мир, 1966.
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии, — Москва: Мир, 1976.