Кільце (геометрія)

Кільце

Кільце (Шаблон:Lang-en) у геометрії — ділянка на площині, обмежена двома концентричними колами.

Відкрите кільце — топологічний еквівалент до відкритого циліндра циліндра Шаблон:Math і до проколотої площини.

Площа кільця — різниця між площами двох кругів: більшого з радіусом Шаблон:Math і меншого з радіусом Шаблон:Math:

$A=\pi R^2-\pi r^2=\pi (R^2-r^2).$

Площу кільця можна отримати з довжини найдовшого інтервалу, який повністю лежить всередині кільця, 2*d у супровідному домені. Це можна довести за допомогою теореми Піфагора; інтервал найбільшої довжини, що повністю лежить у кільці, буде дотичним до меншого кола й утворюватиме прямий кут із його радіусом у точці дотику. Отже, d і r є сторонами прямокутного трикутника з гіпотенузою R і площа задана як:

$A=\pi (R^2-r^2)=\pi d^2.$

Площу також можна отримати за допомогою обчислення, ділячи кільце на нескінченну кількість кілець нескінченно малої ширини Шаблон:Math і площі Шаблон:Math, і тоді інтегрувати від ρ = r до ρ = R:

$A=\underset{r}{\overset{R}{\int }}2\pi \rho d\rho =\pi (R^2-r^2).$

Площа сектора кільця кута Шаблон:Math, з Шаблон:Math заданим у радіанах, задається:

$A=\frac{\theta }{2}(R^2-r^2)$

Комплексна структура

У комплексному аналізі кільце Шаблон:Math на комплексній площині — це відкрита множина, визначена нерівністю:

$r<|z-a|<R.$

Якщо Шаблон:Math = Шаблон:Math, то така область відома як проколотий диск радіуса Шаблон:Math навколо точки Шаблон:Math.

Як підмножину комплексної площини, кільце можна розглядати як Ріманову поверхню. Комплексна структура кільця залежить лише від співвідношення Шаблон:Math. Кожне кільце Шаблон:Math можна голоморфно відобразити на стандартне кільце із центром у початку координат і зовнішнім радіусом Шаблон:Math за допомогою підстановки

$z\mapsto \frac{z-a}{R}.$

Тоді внутрішній радіус буде Шаблон:Math.

Див. також

• Теорема Адамара про три кола — твердження щодо максимального значення голоморфної функції на кільці.
• Тор (геометрія)

Посилання

• Annulus definition and properties Шаблон:Webarchive З інтерактивною анімацією
• Area of an annulus, formula Шаблон:Webarchive З інтерактивною анімацією