Криволінійний інтеграл

Шаблон:Числення Криволіні́́йний інтегра́л — узагальнення визначеного інтеграла на випадок, коли областю інтегрування є деяка крива.

Криволінійний інтеграл I роду

Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини l. Роздивимось неперервну функцію f(x;y), задану в точках дуги AB. Розіб'ємо криву AB точками M₀=A, M₁, M₂,…, M_n=B на n довільних дуг M_i-1M_i з довжинами відповідно Δl_i (i=1; 2;…; n). Виберемо на кожній дузі M_i-1M_i довільну точку (x_i; y_i) і складемо суму

$\sum _{i=1}^{n}f(x_i;y_i)\mathrm{\Delta }{l}_i$.

Її називають інтегральною сумою для функції f(x;y) по кривій AB.

Нехай $\lambda =\max \mathrm{\Delta }{l}_i,1\le i\le n$ — найбільша із довжин дуг поділу. Якщо $\lambda \to 0$ ($n\to \mathrm{\infty }$) існує скінченна границя інтегральних сум, то її називають криволінійним інтегралом від функції f(x;y) по довжині кривої AB, або криволінійним інтегралом I роду від функції f(x;y) по кривій AB і позначають

$\underset{AB}{\int }f(x;y)dl$ або $\underset{L}{\int }f(x;y)dl$.

Таким чином, за означенням

$\underset{AB}{\int }f(x;y)dl=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(x_i;y_i)\mathrm{\Delta }{l}_i$.

Теорема про існування криволінійного інтеграла I роду

Якщо функція $f(x;y)$ неперервна в кожній точці гладкої кривої (в кожній точці $(x;y)\in L$ існує дотична до даної кривої і її положення неперервно змінюється при переміщенні точки по кривій), то криволінійний інтеграл I роду існує і його величина не залежить ні від способу розбиття кривої на частини, ні від вибору точок на них.

Властивості криволінійного інтеграла I роду

$1$. $\underset{AB}{\int }f(x;y)dl=\underset{BA}{\int }f(x;y)dl$, тобто криволінійний інтеграл I роду не залежить від напрямку інтегрування.

$2$. $\underset{L}{\int }c\cdot f(x;y)dl=c\cdot \underset{L}{\int }f(x;y)dl,c=const$, тобто сталий множник можна виносити за знак інтеграла.

$3$. $\underset{L}{\int }(f_1(x;y)\pm f_2(x;y))dl=\underset{L}{\int }{f}_1(x;y)dl\pm \underset{L}{\int }{f}_2(x;y)dl$, тобто інтеграл суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) інтегралів.

$4$. $\underset{L}{\int }f(x;y)dl=\underset{L_1}{\int }f(x;y)dl+\underset{L_2}{\int }f(x;y)dl$, якщо шлях інтегрування $L$ розбито на частини $L_1$ і $L_2$ такі, що $L=L_1\bigcup L_2$ і $L_1$ та $L_2$ мають єдину спільну точку.

$5$. Якщо для точок кривої $L$ виконується нерівність $f_1(x;y)\le f_2(x;y)$, то $\underset{L}{\int }{f}_1(x;y)dl\le \underset{L}{\int }{f}_2(x;y)dl$

$6$. $\underset{AB}{\int }dl=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^n\mathrm{\Delta }{l}_i=l$, де $l$ — довжина кривої $AB$.

$7$. Якщо функція $f(x;y)$ неперервна на кривій $AB$, то на цій кривій знайдеться точка $(x_c;y_c)$ така, що $\underset{AB}{\int }f(x;y)dl=f(x_c;y_c)\cdot l$ (теорема про середнє).

Обчислення криволінійного інтеграла I роду

Параметричне задання кривої інтегрування

Нехай в тривимірному просторі задана гладка дуга $AB$ в параметричному вигляді:
$L=\breve{AB}=\{\begin{array}{c}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}\alpha \le t\le \beta$,
тобто $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ є неперервними на $[\alpha ;\beta ]$. То криволінійний інтеграл 1 роду по даній кривій: $\underset{L}{\overset{}{\int }}f(x,y,z)dl=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2+(z^{\prime }(t){)}^2}dt$
Для двовимірного випадку:
$\underset{L}{\overset{}{\int }}f(x,y)dl=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(x(t),y(t))\sqrt{(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2}dt$

Явне задання кривої інтегрування

Явне задання кривої: $y=y(x)$, $x\in [a,b]$: $\underset{L}{\overset{}{\int }}f(x,y)dl=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y(x))\sqrt{1+(y^{\prime }(x){)}^2}dx$

Полярне задання кривої інтегрування

Нехай в полярній системі координат крива задана функцією
$\rho =\rho (\varphi ),{\varphi }_1\le \varphi \le {\varphi }_2$

То криволінійний інтеграл 1-го роду по даній кривій:
$\underset{L}{\overset{}{\int }}f(x,y)dl=\underset{{\varphi }_1}{\overset{{\varphi }_2}{\int }}f(\rho (\varphi )cos\varphi ,\rho (\varphi )sin\varphi )\sqrt{{\rho }^2+(\rho {}^{\prime }(\varphi ){)}^2}d\varphi$

Криволінійний інтеграл II роду

Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини і функція P(x;y), визначена в кожній точці кривої. Розіб'ємо криву AB точками M₀=A, M₁, M₂,…, M_n=B в напрямі від точки A до точки B на n довільних дуг M_i-1M_i з довжинами відповідно Δl_i (i=1; 2;…; n). Виберемо на кожній елементарній дузі M_i-1M_i довільну точку (x_i; y_i) і складемо суму

$\sum _{i=1}^{n}P(x_i;y_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$,

де $\mathrm{\Delta }{x}_i-x_{i-1}$ — проєкція дуги M_i-1M_i на вісь Ox. Таку суму називають інтегральною сумою для функції P(x;y) по змінній x.

Нехай $\lambda =\max \mathrm{\Delta }{l}_i,1\le i\le n$ — найбільша із довжин дуг поділу. Якщо $\lambda \to 0$ ($n\to \mathrm{\infty }$) і існує скінченна границя інтегральних сум, що не залежить від способу розбиття кривої AB і вибору точок (x_i;y_i), то її називають криволінійним інтегралом по координаті x (або II роду) від функції P(x;y) по кривій AB і позначають

$\underset{AB}{\int }P(x;y)dl$ або $\underset{L}{\int }P(x;y)dl$.

Таким чином, за означенням

$\underset{AB}{\int }P(x;y)dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^{n}P(x_i;y_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$.

Аналогічно виводиться інтеграл від функції Q(x;y) по координаті y:

$\underset{AB}{\int }Q(x;y)dy=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^{n}Q(x_i;y_i)\mathrm{\Delta }{y}_i$,

де $\mathrm{\Delta }{y}_i$ — проєкція дуги M_i-1M_i на вісь Oy.

Криволінійний інтеграл II роду в загальному вигляді на площині:

$\underset{AB}{\int }P(x;y)dx+Q(x;y)dy=\underset{AB}{\int }P(x;y)dx+\underset{AB}{\int }Q(x;y)dy$

Криволінійний інтеграл II роду по кривій в тривимірному просторі визначається аналогічно:

$\underset{AB}{\int }P(x;y;z)dx+Q(x;y;z)dy+R(x;y;z)dz$

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1