Конус (топологія)

Конус окружності. Початковий простір виділено синім кольором, стягнута кінцева точка виділена зеленим кольором.

Шаблон:Значення Конус в топології — топологічний простір, що одержується з вихідного простору $X$ стягненням підпростору $X\times \{0\}$ його циліндра ($X\times [0,1]$) в одну точку, тобто, фактор-простір $(X\times [0,1])/(X\times \{0\})$. Конус над простором $X$ позначається $\mathrm{C}X$.

Якщо $X$ - компактна підмножина евклідового простору, то конус над $X$ є гомеоморфним об'єднанню відрізків з $X$ у деяку точку простору, тобто, означення топологічного конуса узгоджується з означенням геометричного конуса. Однак топологічний конус є більш загальною конструкцією.

Приклади

• Конус над точкою $p$ дійсної прямої — інтервал $\{p\}\times [0,1]$.
• Конус над інтервалом дійсної прямої — трикутник (2 -симплекс).
• Конус над многокутником $P$ — піраміда з основою $P$.
• Конус над кругом — класичний конус (заповнений всередині).
• Конус над колом — бокова поверхня конуса над кругом:

$\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid x^2+y^2=z^2\wedge 0⩽z⩽1\}$,

що є гомеоморфною кругу.

• У загальному випадку конус над гіперсферою є гомеоморфним замкнутій $(n+1)$-вимірній кулі.
• Конус над $n$-симплексом є $(n+1)$-симплексом.

Властивості

• Конус $\mathrm{C}X$ може бути сконструйований як циліндр постійного відображення $X\to \{0\}$.
• Всі конуси є лінійно зв'язними, оскільки будь-яку точку можна з'єднати з вершиною. Більш того, будь-який конус є стягуваним до вершини за допомогою гомотопії, що задається формулою $h_t(x,s)=(x,(1-t)s)$.
• Якщо $X$ є компактним і гаусдорфовим, то конус $\mathrm{C}X$ можна подати як простір відрізків, що з'єднують кожну точку $X$ з єдиною точкою; якщо $X$ не є компактним або гаусдорфовим, то це не так, оскільки в загальному випадку топологія на фактор-просторі $\mathrm{C}X$ буде сильнішою, ніж на множині відрізків, що з'єднують $X$ з точкою.
• В алгебричній топології конуси широко застосовуються завдяки тому, що за їм допомогою простір вкладається в стягуваний простір; в зв'язку з цим також важливим є наступний результат: простір $X$ є стягуваним тоді і тільки тоді, коли він є ретрактом свого конуса.

Конічний функтор

Відображення $X\mapsto \mathrm{C}X$ породжує конічний функтор $\mathrm{C}:𝐓𝐨𝐩\to 𝐓𝐨𝐩$ над категорією топологічних просторів $𝐓𝐨𝐩$.

Редукований конус

Наведений конус - конструкція над топологічними просторами із виділеною точкою $(X,x_0)$:

$\mathrm{C}(X,x_0)=(X\times [0,1])/((X\times \left\{0\right\})\cup (\left\{x_0\right\}\times [0,1]))$.

Природне вкладення $x\mapsto (x,1)$ дозволяє розглянути будь-який топологічний простір із виділеною точкою як замкнуту підмножина свого редукованого конуса.

Див. також

• Джойн (топологія)
• Конус (алгебрична геометрія)
• Надбудова (топологія)
• Стягуваний простір

Література

• Allen Hatcher, Algebraic topology. Шаблон:Webarchive Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. Шаблон:ISBN and Шаблон:ISBN