Конус (алгебрична геометрія)

В алгебричній геометрії конус — узагальнення векторного розшарування. Зокрема, для даної схеми X, відносну Spec

$C={\mathrm{Spec}}_{X}R$

квазікогерентної градуйованої Шаблон:Нп R називають конусом або афінним конусом у R. Подібно, відносну Proj

$\mathbb{P}(C)={\mathrm{Proj}}_{X}R$

називають проєктивним конусом у C або R.

Примітка: конус має ${𝔾}_m$-дію завдяки градуйованості R; ця дія є частиною даних конуса (звідки й назва).

Приклади

• Якщо X = Spec k — точка і R — Шаблон:Нп, то афінний конус у R є (зазвичай) афінним конусом над відповідним R проєктивним многовидом.
• Якщо $R=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{I}^n/I^{n+1}$ для деякого пучка ідеалів I, то ${\mathrm{Spec}}_{X}R$ — Шаблон:Нп до замкнутої схеми, визначеної I.
• Якщо $R=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{L}^{\otimes n}$ для деякого лінійного розшарування L, то ${\mathrm{Spec}}_{X}R$ — повний простір у двоїстому до L.
• Загальніше, для даного векторного розшарування (локально вільний пучок скінченного рангу) E на X, якщо R=Sym(E^*) — симетрична алгебра, згенерована для двоїстого до E, то конус ${\mathrm{Spec}}_{X}R$ є повним простором у E, який часто позначають просто E, а проєктивний конус ${\mathrm{Proj}}_{X}R$ є Шаблон:Нп E, яке позначають $\mathbb{P}(E)$.
• Нехай $ℱ$ — когерентний пучок на Шаблон:Нп X, а $C(ℱ):={\mathrm{Spec}}_X(\mathrm{Sym}(ℱ)).$ Для будь-якого $f:T\to X$, оскільки глобальний Spec є правим сполученням з функтором прямого зображення, маємо: $C(ℱ)(T)={\mathrm{Hom}}_{{𝒪}_X}(\mathrm{Sym}(ℱ),f_{*}{𝒪}_T)$; зокрема, $C(ℱ)$ є комутативною груповою схемою над X.
• Нехай R — градуйована ${𝒪}_X$-алгебра, така що $R_0={𝒪}_X$ і $R_1$ є когерентним і локально породжує R як $R_0$-алгебру. Тоді існує замкнене вкладення

${\mathrm{Spec}}_{X}R\hookrightarrow C(R_1)$,

задане $\mathrm{Sym}(R_1)\to R$. Тому $C(R_1)$ називають абелевою оболонкою конуса ${\mathrm{Spec}}_{X}R.$ Наприклад, якщо для деякого пучка ідеалів $I$ $R=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\oplus }}{I}^n/I^{n+1}$, то це вкладення є вкладенням нормального конуса в нормальне розшарування.

Обчислення

Розглянемо ідеал повного перетину $(f,g_1,g_2,g_3)\subset ℂ[x_0,\dots ,x_n]$ і нехай $X$ — проєктивна схема, визначена пучком ідеалів $ℐ=(f)(g_1,g_2,g_3)$. Тоді ми маємо ізоморфізм ${𝒪}_{{\mathbb{P}}^n}$-алгебр, заданий якШаблон:Джерело

$\underset{n\ge 0}{⨁}\frac{{ℐ}^n}{{ℐ}^{n+1}}\cong \frac{{𝒪}_X[a,b,c]}{(g_{2}a-g_{1}b,g_{3}a-g_{1}c,g_{3}b-g_{2}c)}$

Властивості

Якщо $S\to R$ — градуйований гомоморфізм градуйованих O_X-алгебр, то маємо індукований морфізм між конусами:

$C_R={\mathrm{Spec}}_{X}R\to C_S={\mathrm{Spec}}_{X}S$.

Якщо гомоморфізм сюр'єктивний, то виходять замкнені вкладення $C_R\hookrightarrow C_S,\mathbb{P}(C_R)\hookrightarrow \mathbb{P}(C_S).$

Зокрема, припускаючи, що R₀ = O_X, побудову застосовують до проєкції $R=R_0\oplus R_1\oplus \cdots \to R_0$ (яка є Шаблон:Нп), що дає

$\sigma :X\hookrightarrow C_R$.

Це перетин; тобто, $X\stackrel{\sigma }{\to }{C}_R\to X$ є тотожністю і називається вкладенням нульового перетину.

Розглянемо градуйовану алгебру R[t] зі змінною t, що має степінь один: явно частина n-го степеня буде

$R_n\oplus R_{n-1}t\oplus R_{n-2}{t}^2\oplus \cdots \oplus R_0{t}^n$.

Тоді її афінний конус позначають $C_{R[t]}=C_R\oplus 1$. Проєктивний конус $\mathbb{P}(C_R\oplus 1)$ називають проєктивним доповненням C_R. Дійсно, Шаблон:Прояснити t = 0 точно дорівнює $\mathbb{P}(C_R)$, а доповненням є відкрита підсхема C_R. Локус t = 0 називають гіперплощиною на нескінченності.

О(1)

Нехай R — квазікогерентна градуйована O_X-алгебра, така що R₀ = O_X і R — локально породжена R₁ як O_X-алгебра. Тоді, за визначенням, проєктивний конус R є:

$\mathbb{P}(C)={\mathrm{Proj}}_{X}R=\underrightarrow{\lim }\mathrm{Proj}(R(U))$

де кограниця проходить через відкриті афінні підмножини U в X. За припущенням R(U) має скінченну кількість генераторів степеня один x_i. Отже,

$\mathrm{Proj}(R(U))\hookrightarrow {\mathbb{P}}^r\times U.$

Тоді $\mathrm{Proj}(R(U))$ має лінійне розшарування O(1), задане Шаблон:Нп ${𝒪}_{{\mathbb{P}}^r}(1)$ з ${\mathbb{P}}^r$; склеювання таких локальних O(1), які узгоджуються локально, дає лінійне розшарування O(1) у $\mathbb{P}(C)$.

Для будь-якого цілого числа n позначення O(n) означає n-ий степінь тензора O(1). Якщо конус C =Spec_XR є повним простором векторного лінійне розшарування E, то O (-1) є Шаблон:Нп на Шаблон:Нп P(E).

Примітка: коли (локальні) генератори R мають степінь, відмінний від одиниці, побудова O(1) все ще проходить, але зі Шаблон:Нп замість проєктивного простору; тому отримане O(1) не обов'язково є лінійним розшаруванням. Мовою дивізорів це O(1) відповідає Q-дивізору Картьє.

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Citation
• § 8 у Шаблон:EGA