Константа Майсселя — Мертенса

У границі сума обернених значень простих чисел, менших від n, і функція ln (ln n) відрізняються на константу, константу Майсселя — Мертенса (позначена літерою M).

Константа Майсселя — Мертенса — це математична константа в теорії чисел, яка визначається як границя різниці між гармонічним рядом, сумованим тільки за простими числами, і натурального логарифма натурального логарифма:

$M=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{p\le n}\frac{1}{p}-\ln (\ln n))=\gamma +\sum _p[\ln (1-\frac{1}{p})+\frac{1}{p}].$

Графік гармонічної суми простих чисел для $n=2^{15},2^{16},\dots ,2^{46}\approx 7.04\times 10^{13}$ і наближення Мертенса для неї. Графік має по осі y довжину 8 см і представляє інтервал (2.5, 3.8). Якби вісь n була подана в лінійному масштабі, а не в логарифмічному, то вона мала б довжину $5.33(3)\times 10^9$ км — розмір Сонячної системи.

Тут γ — стала Ейлера — Маскероні, яка має аналогічне визначення для суми за всіма цілими числами (не тільки за простими).

Константу названо іменами Шаблон:Нп і Франца Мертенса. Її також згадують як константу Мертенса, константу Кронекера, константу Адамара — Валле-Пуссена або константу обернених значень простих чисел.

Значення M дорівнює приблизно

M ≈ 0,2614972128476427837554268386086958590516… (Шаблон:OEIS).

Друга теорема Мертенса стверджує, що границя існує.

Факт, що є два логарифми (логарифм від логарифма) в границі для константи Майсселя-Мертенса, можна розглядати як наслідок комбінації теореми про розподіл простих чисел і границі сталої Ейлера — Маскероні.

У популярній культурі

Константу Майсселя — Мертенса використала компанія Google для пропозиції ціни на аукціоні патенту Nortel. Google виставив три пропозиції ціни, засновані на математичних константах — $1 902 160 540 (константа Бруна), $2 614 972 128 (константа Майсселя — Мертенса) і $3,14159 млрд (π)Шаблон:Sfn.

Див. також

• Ряд обернених до простих чисел
• Шаблон:Не перекладено

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• On the remainder in a series of Mertens (файл postscript)