Кирпатий куб

Шаблон:Поліедр Файл:Snub cube.stl Кирпатий кубШаблон:Sfn, або плосконосий кубШаблон:SfnШаблон:Sfn, — напівправильний багатогранник (архімедове тіло) з 38 гранями, складений з 6 квадратів і 32 правильних трикутників. У кожній з його 24 однакових вершин сходяться одна квадратна грань і чотири трикутні. Трикутні грані діляться на дві групи: 8 з них оточені тільки іншими трикутними, решта 24 — квадратною і двома трикутними.

Має 60 ребер рівної довжини.

Назву «кирпатий куб» (Шаблон:Lang-la) дав цьому багатограннику Йоганн Кеплер у трактаті 1619 року «Гармонія світу». Гарольд Коксетер, зазначивши, що багатогранник споріднений з октаедром тою ж мірою, що і з кубом, пропонував називати його «кирпатим кубооктаедром».

На відміну від більшості інших архімедових тіл, кирпатий куб (поряд з кирпатим додекаедром) є хіральним і існує в двох різних дзеркально-симетричних (енантіоморфних) варіантах — «правому» і «лівому».

Перетворення ромбокубооктаедра на «лівий» і «правий» кирпаті куби.

Метричні характеристики і кути

При визначенні метричних властивостей кирпатого куба доводиться розв'язувати кубічні рівняння і користуватися кубічними коренями — тоді як для ахіральних архімедових тіл і для платонових тіл не потрібно нічого складнішого від квадратних рівнянь і квадратних коренів. Тому кирпатий куб, на відміну від платонових і ахіральних архімедових тіл, не допускає евклідової побудови. Це стосується і кирпатого додекаедра, а також двоїстих їм каталанових тіл.

При описі метричних властивостей і кутів кирпатого куба важливу роль відіграє константа трибоначчі:

$t=\frac{1}{3}(1+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}})\approx 1,8392868.$.

Якщо кирпатий куб має ребро довжини $a$його площа поверхні та об'єм виражаються як

$S=(6+8\sqrt{3})a^2\approx 19,8564065a^2,$

$V=\sqrt{\frac{613t+203}{9(35t-62)}}{a}^3\approx 7,8894774a^3.$

Радіус описаної сфери (що проходить через усі вершини багатогранника) при цьому дорівнює

$R=\sqrt{\frac{3-t}{4(2-t)}}a\approx 1,3437134a;$

радіус напіввписаної сфери (дотичної до всіх ребер в їх серединах) —

$\rho =\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{1}{4(2-t)}}a\approx 1,2472232a.$

Вписати в кирпатий куб сферу — так, щоб вона дотикалася до всіх граней, — неможливо. Радіус найбільшої сфери, яку можна помістити всередині кирпатого куба з ребром $a$ (вона буде дотикатися тільки до всіх квадратних граней в їх центрах), дорівнює

$r_4=\sqrt{R^2-\frac{a^2}{2}}=\sqrt{\frac{t-1}{4(2-t)}}a\approx 1,1426135a.$

Відстань від центра багатогранника до центра будь-якої трикутної грані перевищує $r_4$ і дорівнює

$r_3=\sqrt{R^2-\frac{a^2}{3}}=\sqrt{\frac{t+1}{12(2-t)}}a\approx 1,2133558a.$

Двогранні кути між двома суміжними трикутними гранями кирпатого куба рівні ${\alpha }_{33}=\arccos \frac{1-2t}{3}\approx 153,23^{\circ },$ між суміжними квадратною і трикутною гранями ${\alpha }_{43}=\arccos (-\sqrt{1-\frac{2}{3t}})\approx 142,98^{\circ }.$

Тілесний кут при вершині дорівнює $3{\alpha }_{33}+2{\alpha }_{43}-3\pi \approx 1,14\pi .$

В координатах

«Лівий» кирпатий куб можна розмістити у декартовій системі координат так, щоб координати 12 його вершин були всіма парними перестановками тих трійок чисел $(\pm t;\pm 1;\pm t^{-1}),$ серед яких парне число від'ємних, а координати решти 12 вершин — всіма непарними перестановками тих трійок, серед яких непарна кількість від'ємних.

Якщо вчинити навпаки — взяти парні перестановки трійок з непарним числом мінусів і непарні перестановки трійок з парним числом мінусів — отримаємо «правий» варіант кирпатого куба.

Початок координат $(0;0;0)$ в обох випадках буде центром описаної і напіввписаної сфер багатогранника.

Посилання

• Шаблон:MathWorld

Література

• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Книга-ру