Кватерніони і повороти простору

Кватерніон $𝐪=a+bi+cj+dk$ можна представити у вигляді пари скаляра та 3-вимірного вектора:

$𝐪=(s,\overrightarrow{v}),s=a,\overrightarrow{v}=(b,c,d)$,

множення кватерніонів буде виражатись через скалярний та векторний добутки 3-вимірних векторів:

${𝐪}_{\mathrm{𝟏}}{𝐪}_{\mathrm{𝟐}}=(s_1,\overrightarrow{v_1})(s_2,\overrightarrow{v_2})=(s_1{s}_2-\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{v_2},s_1\overrightarrow{v_2}+s_2\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_1}\times \overrightarrow{v_2}).$

Виразимо векторний добуток через добуток кватерніонів:

$\overrightarrow{v_1}\times \overrightarrow{v_2}=\frac{{𝐪}_{\mathrm{𝟏}}{𝐪}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{-}{𝐪}_{\mathrm{𝟐}}{𝐪}_{\mathrm{𝟏}}}{2}.$

Поворот точки навколо осі в 3-вимірному просторі

Покажемо що результатом повороту вектора $\overrightarrow{v}$ на кут $\alpha$ відносно осі $\overrightarrow{u}$ (одиничний вектор) буде: ${𝐯}^{\prime }=𝐪𝐯{𝐪}^{\mathbf{-}\mathrm{𝟏}}$, де

$𝐯=(0,\overrightarrow{v})$ — чисто векторний кватерніон,

$𝐮=(0,\overrightarrow{u})$ — чисто векторний кватерніон,

$𝐪=(\cos \frac{\alpha }{2},\overrightarrow{u}\sin \frac{\alpha }{2}),|𝐪|=1,{𝐪}^{\mathbf{-}\mathrm{𝟏}}\mathbf{=}{𝐪}^{\mathbf{*}}.$

Перепишемо останній кватерніон в іншій формі:

$𝐪=\cos \frac{\alpha }{2}+𝐮\cdot \sin \frac{\alpha }{2};$

${𝐪}^{\mathbf{-}\mathrm{𝟏}}=\cos \frac{\alpha }{2}-𝐮\cdot \sin \frac{\alpha }{2}.$

Спершу обчислимо необхідний нам вираз (використали властивість подвійного векторного добутку):

$𝐮𝐯𝐮=(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v})\times \overrightarrow{u}-(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v})\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}-2\overrightarrow{u}(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}).$

Обчислимо добуток:

${𝐯}^{\prime }=(\cos \frac{\alpha }{2}+𝐮\sin \frac{\alpha }{2})𝐯(\cos \frac{\alpha }{2}-𝐮\sin \frac{\alpha }{2})$

$\begin{array}{ccccccc}{𝐯}^{\prime }& =& -𝐮𝐯𝐮{\sin }^2\frac{\alpha }{2}& +& 𝐯{\cos }^2\frac{\alpha }{2}& +& (𝐮𝐯\mathbf{-}𝐯𝐮)\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}\\ & =& (2\overrightarrow{u}(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v})-\overrightarrow{v}){\sin }^2\frac{\alpha }{2}& +& \overrightarrow{v}{\cos }^2\frac{\alpha }{2}& +& (\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v})(2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2})\\ & =& \overrightarrow{u}(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v})(2{\sin }^2\frac{\alpha }{2})& +& \overrightarrow{v}({\cos }^2\frac{\alpha }{2}-{\sin }^2\frac{\alpha }{2})& +& (\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v})\sin \alpha \\ & =& \overrightarrow{u}(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v})(1-\cos \alpha )& +& \overrightarrow{v}\cos \alpha & +& (\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v})\sin \alpha \\ & =& \overrightarrow{u}(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v})& +& (\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}))\cos \alpha & +& (\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v})\sin \alpha \\ & =& {\overrightarrow{v}}_{\Vert }& +& {\overrightarrow{v}}_{\mathrm{\perp }}\cos \alpha & +& (\overrightarrow{u}\times {\overrightarrow{v}}_{\mathrm{\perp }})\sin \alpha ,\end{array}$

де ${\overrightarrow{v}}_{\Vert }$ та ${\overrightarrow{v}}_{\mathrm{\perp }}$ компоненти вектора $\overrightarrow{v}$ паралельні і перпендикулярні до $\overrightarrow{u}$ відповідно:

• $\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_{\Vert }+{\overrightarrow{v}}_{\mathrm{\perp }}$
• $\overrightarrow{u}\Vert {\overrightarrow{v}}_{\Vert }$
• $\overrightarrow{u}\mathrm{\perp }{\overrightarrow{v}}_{\mathrm{\perp }}.$

Кожен з трьох доданків є ортогональним до двох інших.

Кількість операцій

Обчислення результату двох поворотів

	Зберігання	Множення	Додавання
Матриця повороту $𝐑\mathbf{=}{𝐑}_{\mathrm{𝟐}}{𝐑}_{\mathrm{𝟏}}$	9	27	18
Кватерніон $𝐪\mathbf{=}{𝐪}_{\mathrm{𝟐}}{𝐪}_{\mathrm{𝟏}}$	4	16	12

Обчислення повороту точки

	Зберігання	Множення	Додавання
Матриця повороту ${𝐯}^{\prime }\mathbf{=}𝐑𝐯$	9	9	6
Кватерніон ${𝐯}^{\prime }\mathbf{=}𝐪𝐯{𝐪}^{\mathbf{-}\mathrm{𝟏}}$	4	15	12

Матриця повороту

• Поворотові за допомогою одиничного кватерніона $𝐪=a+bi+cj+dk$ відповідає наступна матриця повороту

$𝐑=\left(\begin{array}{ccc}1-2(c^2+d^2)& 2bc-2ad& 2ac+2bd\\ 2ad+2bc& 1-2(b^2+d^2)& 2cd-2ab\\ 2bd-2ac& 2ab+2cd& 1-2(b^2+c^2)\end{array}\right).$

• Якщо представимо кватерніон у вигляді $𝐪=(\cos \frac{\alpha }{2},\overrightarrow{u}\sin \frac{\alpha }{2}),\overrightarrow{u}=(x,y,z);$ тоді

${𝐑}_{\overrightarrow{u}}(\alpha )={𝐮𝐮}^T+(I-{𝐮𝐮}^T)\cos \alpha +[𝐮{]}_{\times }\sin \alpha .$

Доданки ідентичні доданкам із формули отриманої через кватерніони.

Для спрощення обчислень, зведемо подібні доданки та вернемось до векторної форми (формула повороту Родрігеса):

${𝐯}^{\prime }=𝐮(𝐮\cdot 𝐯)(1-\cos \alpha )+𝐯\cos \alpha +(𝐮\times 𝐯)\sin \alpha .$

Перший та другий доданки вже не є обов'язково ортогональними.