Квадратний корінь з двох

Квадратний корінь з 2 дорівнює довжині гіпотенузи в прямокутному трикутнику з довжиною катетів 1.

Квадратний корінь з числа 2 — дійсне число більше нуля, яке при множенні саме на себе дає число 2. Позначення: $\sqrt{2}.$ Приведемо значення кореня з 2 з 65 знаками після коми:

1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 99…

Геометричний корінь з 2 можливо представити як довжину діагоналі квадрата зі стороною 1 (це слідує з теореми Піфагора). Можливо, це було перше відоме в історії математики ірраціональне число (тобто число, яке неможливо точно представити у вигляді дробу).

Квадратний корінь з 2.

Гарним і часто використовуваним наближенням до $\sqrt{2}$ є дріб $\frac{99}{70}$. Незважаючи на те, що чисельник і знаменник дробу лише двозначні цілі, воно відрізняється від реального значення менше, ніж на 1/10000.

Ірраціональне число Шаблон:Radical
Система числення	Запис числа Шаблон:Radical
Двійкова	1.0110101000001001111…
Десяткова	1.4142135623730950488…
Шістнадцяткова	1.6A09E667F3BCC908B2F…
Ланцюговий дріб	$1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ddots }}}}$

Історія

Вавилонська глиняна табличка з максимально точним зазначенням довжини діагоналі одиничного квадрата чотиризначним шістдесятковим числом.

Вавилонська глиняна табличка (1900 до н. е. — 1650 до н. е.) дає найточніше наближене значення $\sqrt{2}$ при записі в чотирьох шістдесяткових цифрах, що після округлення становить 6 точних десяткових цифр:

$1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3}=1.41421\overline{296}.$

Інше раннє наближення цього числа в давньоіндійському математичному тексті, Шульба-сутри (бл. 800–200 до н. е.) дається наступним чином:

$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{3\cdot 4\cdot 34}=\frac{577}{408}\approx 1.414215686.$

Піфагорійці виявили, що діагональ квадрата непорівнянна з його стороною, або сучасною мовою, що квадратний корінь з двох є ірраціональним. Мало що відомо з певністю про час і обставини цього видатного відкриття, але традиційно його авторство приписується Гіппасу Метапонтському, якого за це відкриття, за різними варіантами легенди, піфагорійці не то вбили, не то вигнали, поставивши йому в провину руйнування головної піфагорейської доктрини про те, що «все є натуральне число». Тому квадратний корінь з 2 іноді називають постійною Піфагора, через те, що саме піфагорійці довели його ірраціональність, тим самим відкривши існування ірраціональних чисел.

Алгоритми обчислення

Існує безліч алгоритмів для обчислення значення квадратного кореня з двох. В результаті алгоритму виходить приблизне значення $\sqrt{2}$ у вигляді звичайної або десяткового дробу. Найпопулярніший алгоритм для цього, який використовується в багатьох комп'ютерах і калькуляторах, це вавилонський метод обчислення квадратних коренів. Він полягає в наступному:

$a_{n+1}=\frac{a_n+\frac{2}{a_n}}{2}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}.$

Чим більше повторень в алгоритмі (тобто, чим більше «n»), тим краще наближення квадратного кореня з двох. Кожне повторення приблизно подвоює кількість правильних цифр. Наведемо кілька перших наближень:

• 3/2 = 1.5
• 17/12 = 1.416…
• 577/408 = 1.414215…
• 665857/470832 = 1.4142135623746…

У 1997 році Ясумаса Канада вирахував значення Шаблон:Radical до 137 438 953 444 десяткових знаків після коми. У лютому 2007 року рекорд був побитий: Сігеру Кондо вирахував 200 мільярдів десяткових знаків після коми протягом 13 днів і 14 годин, використовуючи процесор з частотою 3,6 ГГц і 16 гігабайт оперативної пам'яті. Серед математичних констант тільки $\pi$ було обчислено більш точно.

Властивості квадратного кореня з двох

Половина Шаблон:Radical приблизно дорівнює 0.70710 67811 86548; ця величина дає в геометрії та тригонометрії координати одиничного вектора, який утворює кут 45° з координатними осями:

$\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos (45^{\circ })=\sin (45^{\circ }).$

Одна з цікавих властивостей Шаблон:Radical полягає в наступному:

$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$. Тому що $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=2-1=1.$

Це є результатом властивості срібного перетину.

Друга цікава властивість Шаблон:Radical:

$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots }}}=2.$

Квадратний корінь з двох може бути виражений в уявних одиницях $i$, використовуючи тільки квадратні корені і арифметичні операції:

$\frac{\sqrt{i}+i\sqrt{i}}{i}$ і $\frac{\sqrt{-i}-i\sqrt{-i}}{-i}.$

Квадратний корінь з 2 є єдиним числом, відмінним від 1, чия нескінченна тетрація дорівнює його квадрату.

${\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}}}}=2$

Квадратний корінь з двох може бути також використаний для наближення $\pi$:

$2^m\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots +\sqrt{2}}}}\to \pi (m\to \mathrm{\infty })$

З точки зору вищої алгебри, $\sqrt{2}$ є коренем многочлена $x^2-2$ і тому є цілим алгебраїчним числом. Множина чисел виду $a+b\sqrt{2}$, де $a,b$ — раціональне число, створює алгебраїчне поле. Воно позначається $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ і є підполем поля дійсних чисел.

Доказ ірраціональності

Застосуємо доказ від протилежного: нехай, $\sqrt{2}$ раціональний, тобто представляється у вигляді дробу $\frac{m}{n}$, де $m$ і $n$ — цілі числа. Піднесемо рівність в квадрат:

$\sqrt{2}=\frac{m}{n}\Rightarrow 2=\frac{m^2}{n^2}\Rightarrow m^2=2n^2$.

Так як m² містить парне число двійок, а 2n² — непарне число двійок, отже рівність m²=2n² неможлива. Це означає, що вихідне припущення було невірним, і $\sqrt{2}$ — ірраціональне число.

Ланцюговий дріб

Квадратний корінь з двох може бути представлений у вигляді ланцюгового дробу:

$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ddots }}}}.$

Відповідні дроби даного ланцюгового дробу дають наближені значення, швидко сходяться до точного квадратного кореня з двох. Спосіб їх обчислення простий: якщо позначити попередній відповідний дріб $\frac{m}{n}$, то подальший має вигляд $\frac{m+2n}{m+n}$. Швидкість збіжності тут менше, ніж у методу Ньютона, але обчислення набагато простіше. Випишемо декілька перших наближень:

$\frac{3}{2};\frac{7}{5};\frac{17}{12};\frac{41}{29};\frac{99}{70};\frac{239}{169};\frac{577}{408};\frac{1393}{985};\frac{3363}{2378}\dots$

Квадрат останнього наведеного дробу дорівнює (округлено) 2,000000177.

Розмір паперу

Квадратний корінь з двох є пропорцією формату паперу ISO 216. Співвідношення сторін таке, що при розрізанні аркуша навпіл, паралельно його короткій стороні, вийдуть два аркуша тієї ж пропорції. Це дозволяє нумерувати такі, найуживаніші формати паперу, одним числом, згідно з геометричним зменшенням площі листа (відповідно числу розрізів) — А0, А1, А2, А3, А4,…

Див. також

• Ірраціональність
• Теорема Вієта