Задача Діріхле

Розв'язання задачі Діріхле на кільці з крайовими умовами: $u(2,\phi )=0$, $u(4,\phi )=4\sin (5\phi )$

Задача Діріхле — вид задач, що з'являється при розв'язанні диференціального рівняння з частинними похідними другого порядку. Названа на честь Йоганна Діріхле.

Постановка задачі

Задача Діріхле ставиться в такий спосіб: нехай в області $\mathrm{\Omega }$ задано рівняння

$\mathrm{\Delta }u=0$

де $\mathrm{\Delta }$ — оператор Лапласа. З крайовими умовами:

$u{|}_{\partial \mathrm{\Omega }}=g(𝐱)$

Така задача називається внутрішньою задачею Діріхле або першою крайовою задачею. Самі умови називаються умовами Діріхле або першими крайовими умовами. Друга назва може трактуватися ширше, вказує на будь-яку задачу розв'язання диференціального рівняння, коли відомо значення шуканої функції на всій границі області. У випадку, коли треба знайти значення функції поза областю $\mathrm{\Omega }$ задача називається зовнішньою задачею Діріхле.

Пов'язані теореми

Шаблон:Рамка Теорема.
Розв'язання задачі Діріхле, внутрішньої або зовнішньої, єдине Шаблон:/рамка

Аналітичне розв'язання

Аналітично задача Діріхле може бути розв'язана за допомогою теорії потенціалу. Розв'язання однорідного рівняння можна представити у вигляді:

$u(𝐱)=\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }g(𝐱)\frac{\partial G(𝐱,𝐲)}{\partial n}dx$,

де $G(𝐱,𝐲)$ — функція Гріна для оператора Лапласа в області $\mathrm{\Omega }$.

Чисельне розв'язання

Побудова аналітичного виразу для функції Гріна в складних областях може викликати труднощі, тому для розв'язання таких задач доводиться користуватися чисельними методами. Для кожного методу свої особливості врахування перших крайових умов:

• В методі скінчених різниць для вузлів на границі області записується рівняння ${𝐪}_i=g({𝐱}_i)$, де $i$ — номер відповідного вузла.
• В методі скінчених елементів такі крайові умови називають головними крайовими умовами і вони враховуються на етапі складання матриці, для всіх ваг пов'язаних з границею рівняння замінюються на рівняння виду ${𝐪}_i=g({𝐱}_i)$, далі виконується кілька кроків методом Гауса, щоб отримана матриця була симетричною.

Фізична інтерпретація

Фізична інтерпретація умов Діріхле — поведінка шуканої величини на границі:

• Температура, якщо розглядається рівняння теплопровідності
• Поле швидкості, якщо розглядається рівняння Стокса
• Магнітне поле або електричне поле, якщо розглядається деяке рівняння, що отримується з рівнянь Максвелла (тоді крайові умови називають магнітними або електричними крайовими умовами, відповідно).

Див. також

• Диференціальне рівняння еліптичного типу
• Завдання Неймана
• Інтеграл Пуассона
• Перетворення Кельвіна

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book