Група Прюфера

У теорії груп p-групою Прюфера (або квазіциклічною p-групою) для фіксованого простого числа p називається єдина p-група в якій для будь-якого елементу існує рівно p коренів p-го степеня. Зазвичай позначається як Z(p^∞). Названа на честь німецького математика Гайнца Прюфера.

Властивості

p-групу Прюфера можна розглядати як підгрупа U(1), що складається з комплексних коренів з одиниці степенів pⁿ для всіх натуральних чисел n:

ℤ (p^{\infty}) = {\exp (2 π i m / p^{n}) ∣ m \in ℕ, n \in ℕ} .

Еквівалентно квазіциклічну p-групу можна розглядати як підгрупу Q/Z, що складається з елементів, порядок яких є степенем p:

ℤ (p^{\infty}) = ℤ [1 / p] / ℤ .

Також p-група Прюфера може бути задана генеруючими елементами і співвідношеннями:

ℤ (p^{\infty}) = ⟨ g_{1}, g_{2}, g_{3}, \dots ∣ g_{1}^{p} = 1, g_{2}^{p} = g_{1}, g_{3}^{p} = g_{2}, \dots ⟩ .

Квазіциклічна p-група є єдиною нескінченною p-групою, що є локально циклічною, тобто будь-яка скінченна підмножина її елементів породжує циклічну групу). Всі власні підгрупи квазіциклічної групи є циклічними.

Також можна записати

𝐙 (p^{\infty}) = 𝐐_{p} / 𝐙_{p}

де Q_p позначає адитивну групу p-адичних чисел, а Z_p — підгрупу p-адичних цілих чисел.

Квазіциклічна група є подільною. Кожна абелева подільна група є прямою сумою копій раціональних чисел (проіндексованих деякою можливо нескінченною множиною) і копій Z(p^∞) для всіх простих чисел (зновуж проіндексованих деякими можливо нескінченними множинами). Потужності індексуючих множин для копій всіх Z(p^∞) Q визначають абелеву подільну групу із точністю до ізоморфізму.
В теорії локально компактних топологічних груп квазіциклічна p-група із дискретною топологією, є двоїстою до компактної групи p-адичних чисел.
Квазіциклічні p-групи, для всіх простих p є єдиними нескінченними групами, для яких множина підгруп є лінійно впорядкованою по вкладенню:

0 \subset 𝐙 / p \subset 𝐙 / p^{2} \subset 𝐙 / p^{3} \subset \dots \subset 𝐙 (p^{\infty}) .

За цими вкладеннями p-група Прюфера є індуктивною границею своїх скінченних підгруп.
Як $ℤ$ -модуль, p-група Прюфера є прикладом артинового але не нетерового модуля.
Кільце ендоморфізмів групи Z(p^∞) є ізоморфним кільцю p-адичних цілих чисел Z_p.

Див. також

Література

Група Прюфера

Властивості

Див. також

Література

Навігаційне меню

Пошук