Група Кліфорда

У математиці групою Кліфорда або групою Ліпшиця для невиродженої квадратичної форми на векторному просторі над деяким полем називається деяка підгрупа групи оборотних елементів алгебри Кліфорда для цих простору і квадратичної форми.

Означення

Нехай K є деяким полем, V — скінченновимірний векторний простір над K,Q — невироджена квадратична форма над V і φ — симетрична білінійна форма асоційована з Q. Нехай також $\mathrm{Cl}(V,Q)$ позначає алгебру Кліфорда для відповідного квадратичного простору і ${\mathrm{Cl}}^{*}(V,Q)$ — групу оборотних елементів цієї алгебри.

Лінійне перетворення простору V, що переводить вектор v у -v продовжується до перетворення $\alpha$ на алгебрі Кліффорда, що називається також головною інволюцією алгебри.

Для $x\in {\mathrm{Cl}}^{*}(V,Q)$ можна ввести лінійне відображення $\mathrm{Ad}{\text{'}}_x$ задане як $\mathrm{Ad}{\text{'}}_x(v)=xv\alpha (x{)}^{-1}.$

Якщо $x\in V$ є анізотропним елементом (тобто $Q(x)\ne 0$), то він є оборотним елементом алгебри Кліффорда, $\alpha (x)=-x$ і $\alpha (x{)}^{-1}=-\frac{x}{Q(x)}$. Тоді $\mathrm{Ad}{\text{'}}_x(x)=-x.$ Якщо ж вектор $v\in V$ є ортогональним до $x$, то для добутку Кліффорда $xv=-vx$ і $\mathrm{Ad}{\text{'}}_x(v)=\frac{xxv}{Q(x)}=v.$ Тобто у цьому випадку звуження $\mathrm{Ad}{\text{'}}_x$ на V є відбиттям щодо гіперплощини перпендикулярної до $x$. Зокрема підпростір V алгебри Кліфорда є інваріантним щодо $\mathrm{Ad}{\text{'}}_x$. Елементи групи Кліфорда узагальнюють цю властивість.

Група Кліфорда $\mathrm{\Gamma }$ є за означенням множиною оборотних елементів $x\in {\mathrm{Cl}}^{*}(V,Q)$ алгебри Кліфорда для яких

$\mathrm{Ad}{\text{'}}_x(v)=xv\alpha (x{)}^{-1}\in V$, для всіх $v\in V.$

Спеціальна група Кліфорда (позначається $S\mathrm{\Gamma }$ або ${\mathrm{\Gamma }}^0$) є підгрупою групи Кліфорда,елементи якої належать парній частині градації алгебри Кліфорда.

Ця формула також задає дію групи Кліфорда на векторному просторі V, яка є лінійною і зберігає норму Q і таким чином задається гомоморфізм ${\mathrm{Ad}}^{\prime }(x)$ групи Кліфорда у ортогональну групу для відповідної квадратичної форми.

Властивості

Нехай V є скінченновимірним векторним простором із невиродженою білінійною формою, відповідною алгеброю Кліфорда і групою та спеціальною групою Кліфорда.

• Якщо елемент $x\in \mathrm{\Gamma }$ то і $x^t\in \mathrm{\Gamma }$
• Якщо розглядати спінорну норму на групі Кліфорда задану як $N(x)=x^{t}x$ то $N(x)\in \mathrm{Ker}({\mathrm{Ad}}^{\prime })$ для $x\in \mathrm{\Gamma }.$
• $\mathrm{Ker}({\mathrm{Ad}}^{\prime })=K^{*}$ тобто множині ненульових елементів поля K. Також ця множина буде ядром гомоморфізму, якщо його розглядати тільки на спеціальній алгебрі Кліффорда. Зокрема спінорна норма є гомоморфізмом групи Кліфорда у групу K^*.
• Образом групи Кліфорда при відображенні ${\mathrm{Ad}}^{\prime }$ є ортогональна група, образом спеціальної групи Кліфорда при відображенні ${\mathrm{Ad}}^{\prime }$ є спеціальна ортогональна група.

Для групи Кліфорда це випливає із мультиплікативності спінорної норми і тих фактів, що для $v\in V$ спінорна норма $N(v)$ є рівною $Q(v)$ і для всіх $x\in \mathrm{\Gamma }$ також $N(x)\in K^{*}.$ Тоді, якщо $w={\mathrm{Ad}}^{\prime }(x)v$ то $Q(w)=N(w)=N(xv\alpha (x{)}^{-1})=N(x)N(v)N(\alpha (x{)}^{-1})=N(v)=Q(v).$ Тобто ${\mathrm{Ad}}^{\prime }(x)$ є ортогональним відображенням. Оскільки всі відбиття для анізотропних векторів належать ${\mathrm{Ad}}^{\prime }(\mathrm{\Gamma })$ і згідно теореми Картана — Д'єдонне такі відображення породжують ортогональну групу, то ${\mathrm{Ad}}^{\prime }$ є сюр'єктивним.

• На основі попередніх властивостей одержуються точні послідовності:

$1\to K^{*}\to \mathrm{\Gamma }\to O_V(K)\to 1,$

$1\to K^{*}\to {\mathrm{\Gamma }}^0\to S{O}_V(K)\to 1.$

• Група Кліфорда породжується множиною анізотропних елементів простору V. Спеціальна група Кліфорда є підгрупою добутків парної кількості анізотропних елементів простору V.

Див. також

• Алгебра Кліфорда
• Ортогональна група
• Спеціальна ортогональна група
• Спінорна група

Література

• Шаблон:Citation