Вільна абелева група

Шаблон:Теорія груп Вільна абелева група — абелева група, кожен елемент якої може бути однозначно представлений у вигляді лінійної комбінації елементів деякої множини з цілочисловими коефіцієнтами. Як і у випадку з векторними просторами, дану множину називають базисом.

Вільні абелеві групи не є вільними групами, за винятком циклічної групи і тривіальної групи, що складається з одного елемента.

Властивості

• Будь-які два базиси вільних абелевих груп є рівнопотужними. Потужність базису вільної абелевої групи називається рангом абелевої групи.
• Для довільного кардинального числа $\kappa$ існує вільна абелева група рангу $\kappa$.
• Нехай $G$ — вільна абелева група і $A$ — абелева група. Якщо існує епіморфізм $h:A\to G$, то існує підгрупа $F$ групи $A$ ізоморфна групі $G$ така, що $A=F\oplus \ker h$.
• Будь-яка абелева група $A$ гомоморфним образом вільної абелевої групи. Крім того, якщо група $A$ має множину генераторів потужності $\kappa$ то вона є гомоморфним образом вільної абелевої групи рангу $\kappa$. Як наслідок будь-яка абелева група ізоморфна факторгрупі вільної абелевої групи.
• Підгрупа вільної абелевої групи теж є вільною абелевою групою.

Скінченнопороджені вільні абелеві групи

У випадку скінченнопородженої вільної абелевої групи (ранг якої є деяким натуральним числом) можна дати повнішу характеристику підгруп. Нехай $A$ — вільна абелева група зі скінченним рангом n. Тоді підгрупа $H$ цієї групи є вільною абелевою групою рангу $s⩽n$ і можна вибрати такий базис $x_1,\dots ,x_n$ групи $A$ і натуральні числа $m_i,i=1,\dots ,s,$ що

• Множина $m_1{x}_1,\dots ,m_s{x}_s$ є базисом підгрупи $H;$
• $m_i$ ділиться на $m_{i-1}$ для всіх $i=2,\dots ,s.$

Доведення

Якщо $A$ є групою рангу 1, тобто нескінченною циклічною групою, то твердження одержується із характеристики підгруп циклічних груп. За індукцією припустимо, що твердження доведено для всіх вільних абелевих груп рангу менше n і $A$ є вільною абелевою групою рангу n. Для кожного базису $x_1,\dots ,x_n$ і елемента $a\in A$ у єдиний спосіб можна записати $a=a_1{x}_1+a_2{x}_2+\dots a_n{x}_n$ де всі $a_i$ є цілими числами.

Нехай тепер $H$ є підгрупою групи $A$ і $m$ є мінімальним додатним цілим числом серед тих, що є коефіцієнтами у записі будь-якого елемента $h\in H$ через будь-який базис $x_1,\dots ,x_n$ групи $A$. Якщо перепозначити елементи і індекси базису можна записати:

$h=m{x}_1+a_2{x}_2+\dots a_n{x}_n$

Також

$a_i=m{d}_i+r_i,0⩽r_i<m,$ для $i\in \{2,\dots ,n\}.$

Якщо позначити $y_1=x_1+d_2{x}_2+\dots +d_n{x}_n$ то $y_1,x_2,\dots ,x_n$ є базисом групи $A$ і

$h=m{y}_1+r_2{x}_2+\dots r_n{x}_n$

Згідно вибору числа $m$ тоді всі $r_i=0$ і $h=m{y}_1.$

Нехай тепер $H_1$ позначає циклічну групу породжену елементом $h$ і $H_2$ є підгрупою $H$ елементи якої записуються як комбінації елементів $x_2,\dots ,x_n$ базису. Тоді $H_1\cap H_2=\{0\}.$

Оскільки $y_1,x_2,\dots ,x_n$ є базисом групи $A$, то довільний елемент $k\in H$ є рівним

$k=b_1{y}_1+b_2{x}_2+\dots b_n{x}_n$

Елемент $k=b_1{y}_1+b_2{x}_2+\dots b_n{x}_n$

Якщо $b_1=md+r$ для $d,r\in \mathbb{Z},0⩽r<m,$ то елемент $k-dh=k-dm{y}_1\in H$ записується через базис $y_1,x_2,\dots ,x_n$ як

$k-dh=r{y}_1+b_2{x}_2+\dots b_n{x}_n$

і тому $r=0$ і відповідно $b_1=md,$ а тому $b_1{y}_1=md{y}_1=dh\in H_1.$ Відповідно кожен елемент $k\in H$ є рівним сумі $k_1+k_2$, де $k_1\in H_1$ і $k_2\in H_2.$

Група $A_2$ — підгрупа $A$ породжена елементами $x_2,\dots ,x_n$ базису є вільною групою рангу n - 1 і $H_2$ є підгрупою у $A_2$. Згідно припущення індукції $H_2$ є вільною групою деякого рангу s - 1 і існує базис $y_2,\dots ,y_n$ групи $A_2$ і числа $m_i,i=2,\dots ,s,$ що $m_2{y}_2,\dots ,m_s{y}_s$ є базисом групи $H_2$ і $m_i$ ділиться на $m_{i-1}$ для всіх $i=3,\dots ,s.$ Тоді $y_1,y_2,\dots ,y_n$ є базисом групи $A$, а $m{y}_1,m_2{y}_2,\dots ,m_s{y}_s$ є базисом групи $H.$ Також $m$ ділить $m_2$. Справді, якщо $m_2=md+r$, для $d,r\in \mathbb{Z},0⩽r<m,$ то у базисі $y_1+d{y}_2,y_2,\dots ,y_n$ елемент $m{y}_1+m_2{y}_2\in H$ записується як $m(y_1+d{y}_2)+r{y}_2.$ Із мінімальності $m$ випливає, що $r=0$ і $m_2=md.$

Відповідно базис $y_1,y_2,\dots ,y_n$ групи $A$ і числа $m=m_1,m_2,\dots ,m_s$ (для яких $m_1{y}_1,m_2{y}_2,\dots ,m_s{y}_s$ є базисом) задовільняють умови твердження.

Приклади

• Група ${\mathbb{Z}}^{+}$ цілих чисел з додаванням. Базисом цієї групи може бути одна з множин $\{1\},\{-1\}$.
• Адитивна група кільця многочленів з цілими коефіцієнтами. Базисом цієї групи є, наприклад множина $\{1,x,x^2,x^3,\dots \}$.

Джерела

• Шаблон:Курош.Теорія груп
• Шаблон:Rotman.An Introduction to the Theory of Groups
• Phillip A. Griffith (1970). Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-30870-7.