Векторне розшарування

Шаблон:Інші значення Векторним розшаруванням називається певна геометрична конструкція, котра складається з сімейства векторних просторів, параметризованих іншим простором $X$ (наприклад, $X$ може бути топологічним простором, многовидом або алгебраїчною структурою): кожній точці $x$ простору $X$ зіставляється векторний простір $V_x$ так, що їхнє об'єднання утворює простір такого ж типу, як і $X$ (топологічний простір, многовид або алгебраїчну структуру тощо), зване простором векторного розшарування над $X$.

Векторне розшарування є особливим типом локально тривіальних розшарувань, які в свою чергу є особливим типом розшарувань.

Зазвичай розглядають векторні простори над дійсними або комплексними числами. У такому випадку векторні розшарування називаються відповідно дійсними або комплексними. Комплексні векторні розшарування можна розглядати як дійсні з додатково введеною структурою.

Приклади

• Найпростіший приклад — тривіальне розшарування, яке має вигляд прямого добутку $X\times V$, де $X$ — топологічний простір, база розшарування, а $V$ векторний простір.
• Складніший приклад — це дотичне розшарування гладкого многовиду: кожній точці на многовиді зіставляється дотичний простір до многовиду в цій точці. Дотичні розшарування в загальному випадку не тривіальні.

Визначення

Векторне розшарування — це локально тривіальне розшарування, у якого шар $V$ є векторним простором, зі структурною групою оборотних лінійних перетворень $V$.

Пов'язані визначення

Підрозшаруванням $U$ векторного розшарування $V$ на топологічному просторі $X$ називається така сукупність лінійних підпросторів $U_x\subset V_x$, $x\in X$, яка сама має структуру векторного розшарування.

Морфізми

Морфізм з векторного розшарування ${\pi }_1:E_1\to X_1$ у векторне розшарування ${\pi }_2:E_2\to X_2$ задається парою безперервних відображень $f:E_1\to E_2$ та $g:X_1\to X_2$, таких що

• $g\circ {\pi }_1={\pi }_2\circ f$
• для будь-якого $x\in X_1$, відображення ${\pi }_1^{-1}(\{x\})\to {\pi }_2^{-1}(\{g(x)\}),$, індуковане $f$, — лінійне відображення векторних просторів.

Зауважимо, що $g$ визначається $f$ (бо ${\pi }_1$ — сюр'єкція), у такому випадку говорять, що $f$ покриває $g$.

Клас всіх векторних розшарувань разом з морфізмами розшарувань утворює категорію. Обмежуючись векторними розшаруваннями, які є гладкими многовидами, і гладкими морфізмами розшарувань, ми отримаємо категорію гладких векторних розшарувань. Морфізми векторних розшарувань — окремий випадок відображення розшарувань між локально тривіальними розшаруваннями, їх часто називають гомоморфізмом (векторних) розшарувань.

Гомоморфізм розшарувань з $E_1$ у $E_2$, разом із зворотним гомоморфізмом, називається ізоморфізмом (векторних) розшарувань. У такому разі розшарування $E_1$ і $E_2$ називають ізоморфними. Ізоморфізм векторного розшарування (рангу $k$) $E$ над $X$ на тривіальне розшарування (рангу $k$ над $X$) називається тривіалізацією $E$, при цьому $E$ називають тривіальним (або трівіалізуємим). З визначення векторного розшарування видно, що будь-яке векторне розшарування локально тривіально.

Операції над розшаруваннями

Більшість операцій над векторними просторами можуть бути продовжені на векторні розшарування, виконуючись поточечно.

Наприклад, якщо $E$ — векторне розшарування на $X$, то існує розшарування $E^{*}$ на $X$, зване спряженим розшаруванням, шар якого в точці $x\in X$ — це спряжений векторний простір $(E_x{)}^{*}$. Формально $(E_x{)}^{*}$ можна визначити як множину пар $(x,\phi )$, де $x\in X$ і $\phi \in E_x^{*}$. Спряжене розшарування локально тривіально.

Існує багато функторіальних операцій, виконуваних над парами векторних просторів (над одним полем). Вони безпосередньо продовжуються на пари векторних розшарувань $E,F$ на $X$ (над заданим полем). Ось кілька прикладів.

• Сума Вітні, або розшарування прямої суми $E$ і $F$ — це векторне розшарування $E\oplus F$ на $X$, шар якого в точці $x$ є прямою сумою $E_x\oplus F_x$ векторних просторів $E_x$ і $F_x$.
• Розшарування тензорного добутку $E\otimes F$ визначається аналогічно, використовуючи поточечний тензорний добуток векторних просторів.
• Розшарування гомоморфізмів (Шаблон:Lang-en) $\mathrm{Hom}(E,F)$ — це векторне розшарування, шар якого в точці $x$ — простір лінійних відображень з $E_x$ в $F_x$ (часто позначається $\mathrm{Hom}(E_x,F_x)$ або $L(E_x,F_x)$). Це розшарування корисно, тому що існує бієкція між гомоморфізми векторних розшарувань з $E$ в $F$ на $X$ і частинами $\mathrm{Hom}(E,F)$ на $X$.

Див. також

• Конус (алгебрична геометрія)

Посилання

• Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применения. — М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1984. — 208 с.
• Jurgen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis — (2002) Springer-Verlag, Berlinб ISBN 3-540-42627-2 — See section 1.5.
• Ralph Abraham, Jerrold E. Marsden. Foundations of Mechanics, — (1978) Benjamin-Cummings, Londonб ISBN 0-8053-0102-X — See section 1.5.