Варіація функції

Шаблон:Інші значення Варіацією функції називається числова характеристика функції однієї дійсної змінної, пов'язана з її диференціальними властивостями. Для функції з відрізка на дійсній прямій в ${ℝ}^n$ є узагальненням поняття довжини кривої.

Означення

Нехай $f:[a,b]\to {ℝ}^n$. Тоді варіацією (також повною варіацією або повною зміною) функції $f$ на відрізку $[a,b]$ називається наступна величина:

$V_a^{b}f\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sup {\mathrm{\backslash limits}}_P\sum _{k=0}^m\Vert f(x_{k+1})-f(x_k)\Vert ,$

тобто точна верхня грань за всіма розбиттями відрізка $[a,b]$ довжин ламаних у ${ℝ}^n$, кінці яких відповідають значенням $f$ у точках розбиття.

Пов'язані означення

• Функції, варіація яких обмежена на відрізку, називаються функціями обмеженої варіації, а клас таких функцій позначається $V[a,b]$ або просто $V$.
  • У такому випадку визначена функція $v(x)=V_a^{x}f$, що називається функцією повної варіації для $f$.
• Додатна варіація дійснозначної функції $f$ на відрізку $[a,b]$ називається наступна величина:

  $P_a^{b}f\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sup {\mathrm{\backslash limits}}_P\sum _{k=0}^m\max \{0,f(x_{k+1})-f(x_k)\}.$

• Аналогічно означається від'ємна варіація функції:

  $N_a^{b}f\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}-\inf {\mathrm{\backslash limits}}_P\sum _{k=0}^m\min \{0,f(x_{k+1})-f(x_k)\}.$

• Таким чином повна варіація функції може бути представлена ​​у вигляді суми

  $V_a^{b}f=P_a^{b}f+N_a^{b}f.$

Властивості функцій обмеженої варіації

• Сума і добуток функцій обмеженої варіації теж будуть мати обмежену варіацію. Частка двох функцій з $V$ буде мати обмежену варіацію (іншими словами, належати класу $V$), якщо модуль знаменника на відрізку $[a,b]$ буде більше, ніж позитивна стала.
• Якщо $a<x⩽y<b$, а $f\in V[a,b]$, то $V_a^{x}f+V_x^{y}f=V_a^{y}f$.
• Якщо функція $f$ неперервна в точці $a$ справа і належить $V[a,b]$, то $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a+}v(x)=0$.
• Функція $f(x)$, задана на відрізку $[a,b]$, є функцією обмеженої варіації тоді й тільки тоді, коли вона може бути представлена у вигляді суми зростаючої і спадаючої на $[a,b]$ функції (розклад Жордана).
• Будь-яка функція обмеженої варіації обмежена і може мати не більше ніж зліченну множину точок розриву, причому всі першого роду.
• Функція обмеженої варіації може бути представлена ​​у вигляді суми абсолютно неперервної функції, сингулярної функції та функції стрибків (розклад Лебега).

Всі ці властивості були встановлені Жорданом.

Обчислення варіації

Варіація неперервно диференційовної функції

Якщо функція $f:[a,b]\to {ℝ}^n$ належить до класу $C^1$, тобто має неперервну похідну першого порядку на відрізку $[a,b]$, то $f$ — функція обмеженої варіації на цьому відрізку, а варіація обраховується за формулою:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\Vert f^{\prime }(x)\Vert dx,$

тобто рівна інтегралу норми похідної.

Історія

Функції обмеженої варіації вивчалися К. Жорданом.

Спочатку клас функцій з обмеженою варіацією був введений К. Жорданом у зв'язку з узагальненням ознаки Діріхле збіжності рядів Фур'є кусково монотонних функцій. Жордан довів, що ряди Фур'є $2\pi$-періодичних функцій класу $V[0,2\pi ]$ збігаються в кожній точці дійсної осі. Проте надалі функції обмеженої варіації знайшли широке застосування в різноманітних галузях математики, особливо в теорії інтеграла Стілтьєса.

Узагальнення

Довжина кривої означається як природне узагальнення варіації на випадок відображень у метричний простір.

У випадку декількох змінних існує кілька різних означень варіації функції:

• варіація Фреше,
• плоска варіація Тонеллі.

Φ-варіація функції

Властивості

Якщо розглядати дві функції ${\mathrm{\Phi }}_1(x)$ і ${\mathrm{\Phi }}_2(x)$ такі, що

$\underset{x\to 0^{+}}{\bar{\lim }}\frac{{\mathrm{\Phi }}_1(x)}{{\mathrm{\Phi }}_2(x)}<\mathrm{\infty },$

то для їх $\mathrm{\Phi }$-варіацій справедливе відношення:

$V_{{\mathrm{\Phi }}_2}[a,b]\subset V_{{\mathrm{\Phi }}_1}[a,b].$

Зокрема,

$V_{x^p}\subset V_{x^q}\subset V_{\exp (-x^{-\alpha })}\subset V_{\exp (-x^{-\beta })}$

при $1⩽p<q<\mathrm{\infty },0<\alpha <\beta <\mathrm{\infty }$.

Див. також

• Варіаційне числення
• Інтеграл Стілтьєса

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга