Біцентричний многокутник

Рівносторонній трикутник

Біцентричний дельтоїд

Біцентрична рівнобічна трапеція

Правильний п'ятикутник

У геометрії біцентричний многокутник — це описаний многокутник (многокутник, усі сторони якого дотичні до внутрішнього кола), який також є вписаним у зовнішнє коло, яке проходить через кожну його вершину. Усі трикутники та всі правильні многокутники біцентричні. З іншого боку, прямокутник з нерівними сторонами не є біцентричним, оскільки жодне коло не може дотикатися до всіх його чотирьох сторін.

Трикутники

Кожен трикутник біцентричний. У трикутнику радіуси r і R вписаного та описаного кола відповідно пов'язані рівнянням

$\frac{1}{R-x}+\frac{1}{R+x}=\frac{1}{r}$

де x — відстань між центрами кіл. Це одна з версій формули трикутника Ейлера.

Біцентричні чотирикутники

Шаблон:Main Не всі чотирикутники є біцентричними (мають як вписане, так і описане коло). Для даних двох кіл (одне в одному) з радіусами R і r, де $R>r$, опуклий чотирикутник, вписаний в одне з них і описаний навколо іншого, існує тоді й лише тоді, коли їхні радіуси задовольняють рівність

$\frac{1}{(R-x{)}^2}+\frac{1}{(R+x{)}^2}=\frac{1}{r^2}$

де x — відстань між їхніми центрами. Ця умова (і аналогічні умови для многокутників вищого порядку) відома як теорема Фусса.

Многокутники з n > 4

Відома складна загальна формула співвідношення між радіусом описаного кола R, радіусом вписаного кола r і відстанню x між центром описаного кола та центром вписаного кола для будь-якого числа сторін n. Для деяких n:

$n=5:r(R-x)=(R+x)\sqrt{(R-r+x)(R-r-x)}+(R+x)\sqrt{2R(R-r-x)},$

$n=6:3(R^2-x^2{)}^4=4r^2(R^2+x^2)(R^2-x^2{)}^2+16r^4{x}^2{R}^2,$

$n=8:16p^4{q}^4(p^2-1)(q^2-1)=(p^2+q^2-p^2{q}^2{)}^4,$

де $p=\frac{R+x}{r}$ і $q=\frac{R-x}{r}.$

Правильні многокутники

Кожен правильний многокутник є біцентричним. У правильному многокутнику вписане й описане кола концентричні, тобто мають спільний центр, який також є центром правильного многокутника, тому відстань між центром вписаного й описаного кола завжди дорівнює нулю. Радіусом вписаного кола є апофема (найкоротша відстань від центра до сторони правильного многокутника).

Для будь-якого правильного многокутника співвідношення між довжиною ребра a, радіусом r вписаного кола та радіусом R описаного кола таке:

$R=\frac{a}{2\sin \frac{\pi }{n}}=\frac{r}{\cos \frac{\pi }{n}}.$

Для деяких правильних многокутників, які можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки, маємо такі алгебричні формули для цих співвідношень:

$n$	$R\text{і}a$	$r\text{і}a$	$r\text{і}R$
3	$R\sqrt{3}=a$	$2r=\frac{a}{3}\sqrt{3}$	$2r=R$
4	$R\sqrt{2}=a$	$r=\frac{a}{2}$	$2r=R\sqrt{2}$
5	$R\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}=a$	$r(\sqrt{5}-1)=\frac{a}{10}\sqrt{50+10\sqrt{5}}$	$r(\sqrt{5}-1)=R$
6	$R=a$	$\frac{2r}{3}\sqrt{3}=a$	$\frac{2r}{3}\sqrt{3}=R$
8	$R\sqrt{2+\sqrt{2}}=a(\sqrt{2}+1)$	$r\sqrt{4-2\sqrt{2}}=\frac{a}{2}\sqrt{4+2\sqrt{2}}$	$2r(\sqrt{2}-1)=R\sqrt{2-\sqrt{2}}$
10	$(\sqrt{5}-1)R=2a$	$2r\sqrt{25-10\sqrt{5}}=5a$	$\frac{2r}{5}\sqrt{25-10\sqrt{5}}=\frac{R}{2}(\sqrt{5}-1)$

Отже, маємо такі десяткові наближення:

$n$		$R/a$		$r/a$		$R/r$
$3$		$0.577$		$0.289$		$2.000$
$4$		$0.707$		$0.500$		$1.414$
$5$		$0.851$		$0.688$		$1.236$
$6$		$1.000$		$0.866$		$1.155$
$8$		$1.307$		$1.207$		$1.082$
$10$		$1.618$		$1.539$		$1.051$

Поризм Понселе

Шаблон:Main Якщо два кола є вписаним і описаним колами окремого біцентричного n-кутника, то ці ж два кола є вписаним і описаним колами нескінченної кількості біцентричних n-кутників. Точніше, на кожній дотичній до внутрішнього з двох кіл можна побудувати біцентричний n-кутник, розмістивши вершини на прямій у точках, де вона перетинає зовнішнє коло, продовжуючи від кожної вершини вздовж іншої дотичної та повторюючи це до замкнення ламаної в n-кутник. Той факт, що так буде завжди, випливає з теореми про замикання Понселе, яка в загальнішому випадку застосовується до вписаних і описаних конік.

Крім того, якщо задано описане коло та вписане коло, кожна діагональ змінного многокутника є дотичною до фіксованого кола.

Посилання

• Шаблон:MathWorld