Біноміальний розподіл

Шаблон:Розподіл ймовірностей

Дискретна випадкова величина ξ називається такою, що має біноміальний розподіл, якщо ймовірність набуття нею конкретних значень має вигляд: $P (ξ = k) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}, k = 0, 1, . . . n$ , де $p, n$ — параметри, що визначають розподіл, $p \in [0, 1], q = 1 - p, n \in ℕ$ .

Позначається $ℒ (ξ) = B i (n, p)$ .

Біноміальний розподіл є дискретним розподілом імовірностей із параметрами n і p для кількості успішних результатів, що мають двійкове значення у послідовності із n незалежних експериментів, для кожного з яких ставиться питання "так або ні". Імовірність виникнення успішного результату для кожного випробування задається параметром p, а імовірність виникнення не успішного результату відповідно дорівнюватиме q = 1 − p.

Єдиний успішний чи не успішний експеримент також називають випробуванням Бернуллі або експериментом Бернуллі, а послідовність результатів таких експериментів називаються Шаблон:Нп; для однократного випробування, тобто, при n = 1, біноміальний розподіл є розподілом Бернуллі. Біноміальний розподіл є основою загальновживаної Шаблон:Нп статистичної значущості.

Біноміальний розподіл часто використовують для моделювання кількості успішних експериментів у вибірці розміром в n, де експерименти виконуються із поповненням із сукупності розміром N. Якщо відбір вибірки відбуватиметься без поповнення, тоді такі експерименти не будуть незалежними і їх результатний розподіл буде гіпергеометричним, а не біноміальним. Однак, для випадку, коли N набагато більше за n, біноміальний розподіл використовують, оскільки він залишається добрим наближенням.

Пояснення

В теорії ймовірностей та математичній статистиці, біноміальний розподіл є дискретним ймовірнісним розподілом, що характеризує кількість успіхів в послідовності експериментів, значення яких змінюється за принципом так/ні, кожен з яких набуває успіху з ймовірністю p. Такі так/ні експерименти також називаються експериментами Бернуллі, або схемою Бернуллі, зокрема, якщо n=1 (кількість випробувань), то отримаємо Розподіл Бернуллі.

Означення

Функція імовірностей

У загальному випадку, якщо випадкова величина X відповідає біноміальному розподілу із параметрами n ∈ ℕ і p ∈ [0,1], записують X ~ B(n, p). Імовірність випадання точно k успішних випадків при n випробуваннях задається наступною функцією маси імовірності:

f (k, n, p) = \Pr (k; n, p) = \Pr (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}

для k = 0, 1, 2, ..., n, де

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}

це біноміальний коефіцієнт, названий так само як і сам розподіл. Цю формулу можна розуміти таким чином. k успішних випадків виникають із імовірністю p^k і n − k не успішних результатів випадають із імовірністю (1 − p)^n − k. Однак, k успішних результатів можуть виникнути в будь-який момент серед даних n випробувань, тому існує $(\binom{n}{k})$ різних способів розподілення k успішних випадків у послідовності з n спроб.

При створенні довідникових таблиць для біноміального розподілу, як правило таблицю заповнюють значеннями до n/2. Це тому що для k > n/2, можна розрахувати як імовірність для її доповнення, таким чином

f (k, n, p) = f (n - k, n, 1 - p) .

Якщо розглядати вираз f(k, n, p) як функцію від k, повинно існувати таке значення k, яке максимізує її. Це значення k можна знайти, якщо розрахувати:

\frac{f (k + 1, n, p)}{f (k, n, p)} = \frac{(n - k) p}{(k + 1) (1 - p)}

і прирівняти до 1. Завжди існуватиме ціле число M яке задовольняє умові

(n + 1) p - 1 \leq M < (n + 1) p .

f(k, n, p) є монотонно зростаючою при k < M і монотонно спадною для k > M, за винятком випадку де (n + 1)p є цілим. В даному випадку, існує два значення в яких f є максимальною: (n + 1)p і (n + 1)p − 1. M є найбільш імовірним результатом із усіх випробувань Бернуллі і називається модою.

Функція розподілу

Кумулятивна функція розподілу можна задати таким чином:

F (k; n, p) = \Pr (X \leq k) = \sum_{i = 0}^{⌊ k ⌋} (\binom{n}{i}) p^{i} (1 - p)^{n - i}

де $⌊ k ⌋$ — найбільше ціле число, яке менше або дорівнює k.

Її також можна задати за допомогою регуляризованої неповної бета-функції, таким чином:^[1]

\begin{matrix} F (k; n, p) & = \Pr (X \leq k) \\ = I_{1 - p} (n - k, k + 1) \\ = (n - k) (\binom{n}{k}) \int_{0}^{1 - p} t^{n - k - 1} (1 - t)^{k} d t . \end{matrix}

Числові характеристики

Зважаючи на співвідношення між біноміальним розподілом і розподілом Бернуллі, наведені нижче, а також на властивості математичного сподівання і дисперсії, можна отримати числові характеристики для біноміального розподілу без громіздких обчислень.

Математичне сподівання

Якщо X ~ B(n, p), така що, X є біноміально-розподіленою випадковою величиною для якої, n - загальна кількість експериментів, а p це імовірність що кожен експеримент призведе до успішного результату, тоді математичне сподівання для X дорівнюватиме:^[2]

E [X] = n p .

Наприклад, якщо n = 100, а p = 1/4, тоді середньою кількістю успішних випробувань буде 25.

Доведення: Розрахуємо середнє, μ, прямим способом виходячи із його визначення

μ = \sum_{i = 0}^{n} x_{i} p_{i},

і з теореми про біном Ньютона:

\begin{matrix} μ & = \sum_{k = 0}^{n} k (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k} \\ = n p \sum_{k = 0}^{n} k \frac{(n - 1)!}{(n - k)! k!} p^{k - 1} (1 - p)^{(n - 1) - (k - 1)} \\ = n p \sum_{k = 1}^{n} \frac{(n - 1)!}{((n - 1) - (k - 1))! (k - 1)!} p^{k - 1} (1 - p)^{(n - 1) - (k - 1)} \\ = n p \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n - 1}{k - 1}) p^{k - 1} (1 - p)^{(n - 1) - (k - 1)} \\ = n p \sum_{ℓ = 0}^{n - 1} (\binom{n - 1}{ℓ}) p^{ℓ} (1 - p)^{(n - 1) - ℓ} & із ℓ : = k - 1 \\ = n p \sum_{ℓ = 0}^{m} (\binom{m}{ℓ}) p^{ℓ} (1 - p)^{m - ℓ} & із m : = n - 1 \\ = n p (p + (1 - p))^{m} \\ = n p \end{matrix}

Середнє також можна вивести із рівняння $X = X_{1} + \dots + X_{n}$ де всі $X_{i}$ є випадковими величинами із розподілом Бернуллі із $E [X_{i}] = p$ ( $X_{i} = 1$ якщо i-ий експеримент є успішним і $X_{i} = 0$ навпаки). Отримаємо: $E [X] = E [X_{1} + \dots + X_{n}] = E [X_{1}] + \dots + E [X_{n}] = \underset{n times}{\underset{⏟}{p + \dots + p}} = n p$

Дисперсія

дисперсія біноміально-розподіленої випадкової величини:

D (X) = n p (1 - p) .

Доведення: Нехай $X = X_{1} + \dots + X_{n}$ де всі $X_{i}$ є незалежними випадковими величинами із розподілом Бернуллі. Оскільки $D (X_{i}) = p (1 - p)$ , отримаємо:

D (X) = D (X_{1} + \dots + X_{n}) = D (X_{1}) + \dots + D (X_{n}) = n D (X_{1}) = n p (1 - p) .

Мода

Як правило мода біноміального розподілу B(n, p) дорівнює $⌊ (n + 1) p ⌋$ , де $⌊ \cdot ⌋$ позначає функцію округлення до найбільшого цілого числа, яке менше або дорівнює (тобто найближчого цілого числа, яке менше або дорівнює заданому числу. Однак, коли (n + 1)p є цілим, а p не є не 0 ні 1, тоді розподіл має дві моди: (n + 1)p і (n + 1)p − 1. Коли p дорівнює 0 або 1, тоді мода дорівнюватиме 0 і n відповідно. Ці випадки можна узагальнити таким чином:

Мода = {\begin{matrix} ⌊ (n + 1) p ⌋ & , якщо (n + 1) p дорівнює 0 або не є цілим, \\ (n + 1) p і (n + 1) p - 1 & , якщо (n + 1) p \in {1, \dots, n}, \\ n & , якщо (n + 1) p = n + 1 . \end{matrix}

Доведення: Нехай

f (k) = (\binom{n}{k}) p^{k} q^{n - k} .

Для $p = 0$ лише $f (0)$ матиме не нульове значення $f (0) = 1$ . Для $p = 1$ маємо, що $f (n) = 1$ і $f (k) = 0$ для $k \neq n$ . Це доводить, що мода дорівнює 0 для $p = 0$ і $n$ для $p = 1$ .

Нехай $0 < p < 1$ . Знайдемо, що

\frac{f (k + 1)}{f (k)} = \frac{(n - k) p}{(k + 1) (1 - p)}

.

З цього випливає

\begin{matrix} k > (n + 1) p - 1 \Rightarrow f (k + 1) < f (k) \\ k = (n + 1) p - 1 \Rightarrow f (k + 1) = f (k) \\ k < (n + 1) p - 1 \Rightarrow f (k + 1) > f (k) \end{matrix}

Тож коли $(n + 1) p - 1$ є цілим, тоді $(n + 1) p - 1$ і $(n + 1) p$ є модою. У випадку, коли $(n + 1) p - 1 \notin ℤ$ , тоді модою буде лише $⌊ (n + 1) p - 1 ⌋ + 1 = ⌊ (n + 1) p ⌋$ .^[3]

Медіана

Загалом, не існує єдиної формули для знаходження медіани біноміального розподілу, крім того вона може бути не унікальною. Однак існує декілька результатів для особливих випадків:

Якщо np ціле число, тоді середнє, медіана і мода збігаються між собою і дорівнюють np.^[4]^[5]
Будь-яка медіана m обов'язково знаходиться в середині інтервалу ⌊np⌋ ≤ m ≤ ⌈np⌉.^[6]
Медіана m не може знаходитися далеко від середнього: Шаблон:Nowrap}.^[7]
Медіана буде єдиною і дорівнюватиме m = округлене(np) якщо |m − np| ≤ min{p, 1 − p} (крім випадку, коли p = Шаблон:Sfrac та n є непарними).^[6]
Якщо p = 1/2 та n непарні, будь-яке число m у інтервалі Шаблон:Sfrac(n − 1) ≤ m ≤ Шаблон:Sfrac(n + 1) є медіаною біноміального розподілу. Якщо p = 1/2 і n парні, тоді m = n/2 є єдиною медіаною.

Коваріація між двома біноміальними розподілами

Якщо одночасно спостерігалися дві біноміально розподілені випадкові величини X і Y, може бути корисним визначити їх коваріацію. Коваріація це

Cov (X, Y) = E (X Y) - μ_{X} μ_{Y} .

У випадку коли n = 1 (у випадку із схемою випробувань Бернуллі) XY не нульове лише коли обидві X і Y є одиницею, а μ_X і μ_Y дорівнюють двом імовірностям. Якщо визначити p_B як імовірність виникнення обох подій одночасно, отримаємо

Cov (X, Y) = p_{B} - p_{X} p_{Y},

і для n незалежних попарних випробувань

Cov (X, Y)_{n} = n (p_{B} - p_{X} p_{Y}) .

Якщо X і Y є однією і тією ж випадковою величиною, цей вираз спрощується до виразу визначення дисперсії, який наведено вище в цій статті.

Зв'язок з іншими розподілами

Нехай незалежні випадкові величини $ξ_{1}, ξ_{2}, . . ., ξ_{n}$ мають розподіл Бернуллі з параметром p, тобто $ℒ (ξ_{i}) = B (p), i = \overline{1, n}$ , тоді випадкова величина $ξ = \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}$ має біноміальний розподіл з параметрами p, n, тобто $ℒ (ξ) = B i (n, p)$ .

Сума біноміально-розподілених величин

Якщо X ~ B(n, p) і Y ~ B(m, p) є незалежними випадковими величинами із біноміальним розподілом із однаковою ймовірністю p, тоді X + Y також буде біноміально-розподіленою величиною, і її розподілом буде Z=X+Y ~ B(n+m, p):

\begin{matrix} P (Z = k) & = \sum_{i = 0}^{k} [(\binom{n}{i}) p^{i} (1 - p)^{n - i}] [(\binom{m}{k - i}) p^{k - i} (1 - p)^{m - k + i}] \\ = (\binom{n + m}{k}) p^{k} (1 - p)^{n + m - k} \end{matrix}

Однак, якщо X і Y не мають однакової імовірності p, тоді дисперсія суми величин буде меншою за дисперсію випадкової величини із біноміальним розподілом вигляду $B (n + m, \bar{p}) .$

Відношення двох біноміальних розподілів

Нехай p₁ і p₂ це імовірності успішного випробування у біноміальних розподілах B(X,n) і B(Y,m) відповідно. Нехай T = (X/n)/(Y/m).

Тоді log(T) є наближено нормально розподіленою величиною із середнім log(p₁/p₂) і дисперсією ((1/p₁) - 1)/n + ((1/p₂) - 1)/m.^[8]

Умовні біноміальні величини

Якщо є X ~ B(n, p) і, при X існує деяка умовна величина Y ~ B(X, q), тоді Y є простою біноміальною величиною із розподілом Y ~ B(n, pq).

Наприклад, уявімо, що хтось кидає n м'ячів у кошик U_X і виймає ті м'ячі, які успішно потрапили у кошик та кладе їх у інший кошик U_Y. Якщо p означає імовірність влучити в U_X тоді X ~ B(n, p) це кількість м'ячів, які влучили у U_X. Якщо q це імовірність потрапити у U_Y тоді кількістю м'ячів, які потраплять у U_Y буде Y ~ B(X, q) і таким чином Y ~ B(n, pq).

Шаблон:Hidden begin Оскільки $X \sim B (n, p)$ і $Y \sim B (X, q)$ , за формулою повної імовірності,

\begin{matrix} \Pr [Y = m] & = \sum_{k = m}^{n} \Pr [Y = m ∣ X = k] \Pr [X = k] \\ = \sum_{k = m}^{n} (\binom{n}{k}) (\binom{k}{m}) p^{k} q^{m} (1 - p)^{n - k} (1 - q)^{k - m} \end{matrix}

Оскільки $(\binom{n}{k}) (\binom{k}{m}) = (\binom{n}{m}) (\binom{n - m}{k - m}),$ , то вищенаведене рівняння можна записати в такій формі

\Pr [Y = m] = \sum_{k = m}^{n} (\binom{n}{m}) (\binom{n - m}{k - m}) p^{k} q^{m} (1 - p)^{n - k} (1 - q)^{k - m}

Розбивши на множники $p^{k} = p^{m} p^{k - m}$ і виділивши всі множники, які не залежать від $k$ суму можна звести до такого:

\begin{matrix} \Pr [Y = m] & = (\binom{n}{m}) p^{m} q^{m} (\sum_{k = m}^{n} (\binom{n - m}{k - m}) p^{k - m} (1 - p)^{n - k} (1 - q)^{k - m}) \\ = (\binom{n}{m}) (p q)^{m} (\sum_{k = m}^{n} (\binom{n - m}{k - m}) {(p (1 - q))}^{k - m} (1 - p)^{n - k}) \end{matrix}

Замінивши $i = k - m$ у вищенаведеному виразі, отримаємо

\Pr [Y = m] = (\binom{n}{m}) (p q)^{m} (\sum_{i = 0}^{n - m} (\binom{n - m}{i}) (p - p q)^{i} (1 - p)^{n - m - i})

Помітимо, що вищенаведена сума (у дужках) дорівнює $(p - p q + 1 - p)^{n - m}$ відповідно до теореми про біном Ньютона. Підставивши це у вираз, зрештою отримаємо

\begin{matrix} \Pr [Y = m] & = (\binom{n}{m}) (p q)^{m} (p - p q + 1 - p)^{n - m} \\ = (\binom{n}{m}) (p q)^{m} (1 - p q)^{n - m} \end{matrix}

і таким чином $Y \sim B (n, p q)$ , що і треба було довести. Шаблон:Hidden end

Розподіл Бернуллі

Розподіл Бернуллі є особливим випадком біноміального розподілу, де n = 1. Символічно, X ~ B(1, p) має однакове середнє як і X ~ B(p). І навпаки, будь-який біноміальний розподіл, B(n, p), є розподілом суми із n випробувань Бернуллі, B(p), кожне з яких має однакову імовірність p.^[9]

Нормальне наближення

Якщо n є досить великим, тоді зсув біноміального розподілу не буде дуже великим. В такому випадку нормальний розподіл може бути виправданим наближенням для B(n, p).

𝒩 (n p, n p (1 - p)),

а це базове наближення можна покращити використавши вдалу Шаблон:Нп. Базове наближення значно стає кращим при збільшенні n (принаймні більше ніж 20) і буде кращим, коли p не є близькою до 0 або 1.^[10] Можуть використовуватися різні емпіричні правила, які визначають чи є n достатньо великою, а значення p є досить далеким від крайніх значень нуля або одиниці:

Одне із правил^[10] говорить, що для Шаблон:Nowrap нормальне наближення буде адекватним, якщо абсолютне значення зсуву є строго меншим ніж 1/3; тобто, якщо

\frac{| 1 - 2 p |}{\sqrt{n p (1 - p)}} = \frac{1}{\sqrt{n}} | \sqrt{\frac{1 - p}{p}} - \sqrt{\frac{p}{1 - p}} | < \frac{1}{3} .

Більш посилене правило говорить, що нормальна апроксимація буде прийнятною лише якщо всі можливі значення знаходяться в межах 3 стандартних відхилень від середнього значення; тобто, лише якщо

μ \pm 3 σ = n p \pm 3 \sqrt{n p (1 - p)} \in (0, n) .

Це правило про 3-стандартні відхилення буде еквівалентне наступним наведеним умовам, які також зумовлюють виконання і першого правила, описаного вище.

n > 9 \frac{1 - p}{p} і n > 9 \frac{p}{1 - p} .

Шаблон:Hidden begin Правило $n p \pm 3 \sqrt{n p (1 - p)} \in (0, n)$ є повністю еквівалентним вимозі, що

n p - 3 \sqrt{n p (1 - p)} > 0 і n p + 3 \sqrt{n p (1 - p)} < n .

Якщо переставити множники отримаємо:

n p > 3 \sqrt{n p (1 - p)} і n (1 - p) > 3 \sqrt{n p (1 - p)} .

Оскільки $0 < p < 1$ , ми можемо піднести вирази у квадрат і поділити на відповідні множники $n p^{2}$ та $n (1 - p)^{2}$ , і отримаємо бажані умови:

n > 9 \frac{1 - p}{p} і n > 9 \frac{p}{1 - p} .

Зауважимо, що ці умови автоматично означають, що $n > 9$ . З іншого боку, знову застосувавши квадратний корінь до нерівностей і поділивши на 3,

\frac{\sqrt{n}}{3} > \sqrt{\frac{1 - p}{p}} > 0 і \frac{\sqrt{n}}{3} > \sqrt{\frac{p}{1 - p}} > 0 .

Віднявши другий набір нерівностей із першого, отримаємо:

\frac{\sqrt{n}}{3} > \sqrt{\frac{1 - p}{p}} - \sqrt{\frac{p}{1 - p}} > - \frac{\sqrt{n}}{3};

тож, необхідне перше правило буде виконуватися,

| \sqrt{\frac{1 - p}{p}} - \sqrt{\frac{p}{1 - p}} | < \frac{\sqrt{n}}{3} .

Шаблон:Hidden end

Іншим загальновживаним правилом є те, що обидва значення $n p$ і $n (1 - p)$ мають бути більшими або дорівнювати 5. Однак, конкретне значення цього числа зустрічається різним в різних джерелах, і залежить від того наскільки хорошим має бути наближення. Зокрема, якщо використати значення 9 замість наведеного 5, правило призводить до результатів, що отримані в попередній частині розділу.

Шаблон:Hidden begin Припустимо, що обидва значення $n p$ і $n (1 - p)$ є більшими за число 9. Оскільки $0 < p < 1$ , ми можемо стверджувати, що

n p \geq 9 > 9 (1 - p) і n (1 - p) \geq 9 > 9 p .

Тепер необхідно лише поділити це на відповідні множники $p$ і $1 - p$ , аби вивести альтернативну форму правила про 3-стандартні відхилення:

n > 9 \frac{1 - p}{p} і n > 9 \frac{p}{1 - p} .

Шаблон:Hidden end

Наведемо приклад застосування Шаблон:Нп. Припустимо, що необхідно розрахувати Pr(X ≤ 8) для біноміально-розподіленої випадкової величини X. Якщо Y має розподіл заданий у вигляді нормального наближення, тоді Pr(X ≤ 8) можна наблизити за допомогою Pr(Y ≤ 8.5). Додавання 0.5 є поправкою неперервності; нормальне наближення без поправки дає менш точний результат.

Це наближення відоме як Локальна теорема Муавра — Лапласа, вона дозволяє значно зекономити час, якщо розрахунки виконуються вручну (точний розрахунок при великих n є дуже обтяжливим); історично, це було першим застосуванням нормального розподілу, яке було представлено у книзі Абрахама де Муавра Шаблон:Нп в 1738. Сьогодні, її можна розглядати як наслідок із центральної граничної теореми оскільки B(n, p) є сумою із n незалежних, однаково розподілених випадкових величин із розподілом Бернуллі із параметром p. Цей факт є основою для перевірки статистичних гіпотез, "пропорційного z-тесту", для значення p використовуючи розрахунок x/n, що є пропорцією вибірки і оцінкою для p у загальних статистичних перевірках.^[11]

Наприклад, припустимо, що хтось зробив вибірку по n людям із усієї популяції людей і запитав їх чи погоджуються вони з певним твердженням. Частка людей, яка погодиться з висловлюванням очевидно буде залежати від вибірки. Якщо групи із n людей були обрані повторно і дійсно випадковим чином, ця пропорція буде відповідати наближеному нормальному розподілу із середнім, що дорівнює істинному співвідношенню p того що люди погоджуються із твердженням в цій сукупності і матиме стандартне відхилення $σ = \sqrt{\frac{p (1 - p)}{n}}$

Наближення Пуассона

Біноміальний розподіл наближається до Розподілу Пуассона якщо кількість спроб зростає до нескінченності в той час як добуток np залишається незмінним або p прямує до нуля. Тому, розподіл Пуассона із параметром λ = np може використовуватися для наближення біноміального розподілу B(n, p) якщо n має досить велике значення і p значно мала. Відповідно до двох правил, це наближення є добрим, якщо n ≥ 20 і p ≤ 0.05, або якщо n ≥ 100 і np ≤ 10.^[12]^[13]

Граничні розподіли

Теорема Пуассона: З тим як n наближається до ∞ і p наближається до 0 при сталому добутку np, Біноміальний розподіл B(n, p) наближається до розподілу Пуассона із математичним сподіванням λ = np.^[12]
Локальна теорема Муавра — Лапласа: З тим як n наближається до ∞ поки p залишається сталим, розподіл величини

\frac{X - n p}{\sqrt{n p (1 - p)}}

наближається до нормального розподілу із математичним сподіванням 0 і дисперсією 1. Цей результат в не суворій формі іноді формулюють як те, що розподіл величини X буде Шаблон:Нп із математичним сподіванням np і дисперсією np(1 − p). Цей результат є особливим випадком центральної граничної теореми.

Бета-розподіл

Бета-розподіли дозволяють мати сімейство апріорних розподілів імовірностей для біноміальних розподілів при Баєсовому виведенні:^[14]

P (p; α, β) = \frac{p^{α - 1} (1 - p)^{β - 1}}{B (α, β)}

.

Див. також

Шаблон:Портал

Джерела

Примітки

Шаблон:Reflist

Шаблон:Список розподілів ймовірності

↑ Шаблон:Cite book
↑ See Proof Wiki Шаблон:Webarchive
↑ See also the answer to the question "finding mode in Binomial distribution"
↑ Шаблон:Cite journal
↑ Lord, Nick. (July 2010). "Binomial averages when the mean is an integer", The Mathematical Gazette 94, 331-332.
↑ ^6,0 ^6,1 Шаблон:Cite journal
↑ Шаблон:Cite journal
↑ Katz D. et al.(1978) Obtaining confidence intervals for the risk ratio in cohort studies. Biometrics 34:469–474
↑ Шаблон:Cite web
↑ ^10,0 ^10,1 Шаблон:Cite book
↑ NIST/SEMATECH, "7.2.4. Does the proportion of defectives meet requirements?" Шаблон:Webarchive e-Handbook of Statistical Methods.
↑ ^12,0 ^12,1 NIST/SEMATECH, "6.3.3.1. Counts Control Charts" Шаблон:Webarchive, e-Handbook of Statistical Methods.
↑ Що стосується точності наближення Пуассона, див Novak S.Y. (2011) Extreme value methods with applications to finance. London: CRC/ Chapman & Hall/Taylor & Francis. Шаблон:ISBN ch. 4, and references therein.
↑ Шаблон:Cite book

[1] Шаблон:Cite book

[2] See Proof Wiki Шаблон:Webarchive

[3] See also the answer to the question "finding mode in Binomial distribution"

[4] Шаблон:Cite journal

[5] Lord, Nick. (July 2010). "Binomial averages when the mean is an integer", The Mathematical Gazette 94, 331-332.

[KaasBuhrman-6] 6,0 ^6,1 Шаблон:Cite journal

[Hamza-7] Шаблон:Cite journal

[Katz1978-8] Katz D. et al.(1978) Obtaining confidence intervals for the risk ratio in cohort studies. Biometrics 34:469–474

[9] Шаблон:Cite web

[bhh-10] 10,0 ^10,1 Шаблон:Cite book

[11] NIST/SEMATECH, "7.2.4. Does the proportion of defectives meet requirements?" Шаблон:Webarchive e-Handbook of Statistical Methods.

[nist-12] 12,0 ^12,1 NIST/SEMATECH, "6.3.3.1. Counts Control Charts" Шаблон:Webarchive, e-Handbook of Statistical Methods.

[13] Що стосується точності наближення Пуассона, див Novak S.Y. (2011) Extreme value methods with applications to finance. London: CRC/ Chapman & Hall/Taylor & Francis. Шаблон:ISBN ch. 4, and references therein.

[MacKay-14] Шаблон:Cite book

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

Біноміальний розподіл

Зміст

Пояснення

Означення

Функція імовірностей

Функція розподілу

Числові характеристики

Математичне сподівання

Дисперсія

Мода

Медіана

Коваріація між двома біноміальними розподілами

Зв'язок з іншими розподілами

Сума біноміально-розподілених величин

Відношення двох біноміальних розподілів

Умовні біноміальні величини

Розподіл Бернуллі

Нормальне наближення

Наближення Пуассона

Граничні розподіли

Бета-розподіл

Див. також

Джерела

Примітки

Навігаційне меню

Біноміальний розподіл

Пояснення

Означення

Функція імовірностей

Функція розподілу

Числові характеристики

Математичне сподівання

Дисперсія

Мода

Медіана

Коваріація між двома біноміальними розподілами

Зв'язок з іншими розподілами

Сума біноміально-розподілених величин

Відношення двох біноміальних розподілів

Умовні біноміальні величини

Розподіл Бернуллі

Нормальне наближення

Наближення Пуассона

Граничні розподіли

Бета-розподіл

Див. також

Джерела

Примітки

Навігаційне меню

Пошук