Гіпергеометричний розподіл

Шаблон:Розподіл ймовірностей

Гіпергеометричний розподіл в теорії імовірності моделює кількість успішних вибірок без повернення зі скінченної сукупності.

	витягнуті	не витягнуті	всього
з дефектом	k	D − k	D
без дефекта	n − k	N + k − n − D	N − D
всього	n	N − n	N

Типовий приклад представлений у попередній таблиці: дано сукупність N об'єктів, з яких D мають дефект. Гіпергеометричний розподіл описує ймовірність того, що у вибірці з n різних об'єктів, витягнутих із сукупності, рівно k об'єктів є бракованими. Загалом, якщо випадкова величина X відповідає гіпергеометричному розподілу з параметрами N, D та n, то ймовірність отримання рівно k успіхів визначається формулою:

f (k; N, D, n) = \frac{(\binom{D}{k}) (\binom{N - D}{n - k})}{(\binom{N}{n})}

Ця ймовірність додатна, коли k лежить на проміжку між max{ 0, D + n − N } та min{ n, D }. Наведену формулу можна трактувати так: існує $(\binom{N}{n})$ способів заповнити залишок вибірки (без повернення). Є $(\binom{D}{k})$ способів вибрати k бракованих об'єктів та $(\binom{N - D}{n - k})$ способів заповнити залишок вибірки об'єктами без дефектів. У разі, коли розмір популяції є більшим, ніж розмір вибірки, гіпергеометричний розподіл добре апроксимується біноміальним розподілом з параметрами n (кількість випробувань) та p = D / N (ймовірність успіху в одному випробуванні).

Визначення

Нехай є скінченна сукупність, яка складається з $N$ елементів. Припустимо, що $n$ із них мають потрібну нам властивість. Випадковим чином із загальної сукупності вибирається група з $D$ елементів. Нехай $Y$ — випадкова величина, що дорівнює кількості вибраних елементів, які мають потрібну властивість. Тоді функція ймовірностей $Y$ має вигляд:

p_{Y} (k) \equiv ℙ (Y = k) = \frac{C_{D}^{k} C_{N - D}^{n - k}}{C_{N}^{n}}

,

де $C_{n}^{k} \equiv (\binom{n}{k}) \equiv \frac{n!}{k! (n - k)!}$ позначає біноміальний коефіцієнт. Пишемо: $Y \sim H G (D, N, n)$ .

Моменти

Математичне сподівання

𝔼 [Y] = \frac{n D}{N}

,

Дисперсія

D [Y] = \frac{n (D / N) (1 - D / N) (N - n)}{(N - 1)}

.

Приклади застосування

Класичним застосуванням гіпергеометричного розподілу є вибірка без повернення. Розглянемо урну з двома типами куль: чорними і білими. Визначимо витягнення білої кульки як успіх, а чорної як невдачу. Якщо N є числом всіх кульок в урні, а D - число білих кульок, то N − D число чорних кульок.

Тепер припустимо, що в урні знаходиться 5 білих і 45 чорних кульок. Перебуваючи біля урни, ви закриваєте очі й витягуєте 10 кульок. Яка ймовірність того, що витягнуто рівно 4 білі кульки? Задача описується в наступній таблиці:

	витягнуті	не витягнуті	завжди
білі кульки	4 (k)	1 = 5 − 4 (D − k)	5 (D)
чорні кульки	6 = 10 − 4 (n − k)	39 = 50 + 4 − 10 − 5 (N + k − n − D)	45 (N − D)
всього	10 (n)	40 (N − n)	50 (N)

Ймовірність $ℙ (k = x)$ того, що будуть витягнені рівно x білих кульок (= кількості успіхів), може бути обчисленою за формулою:

ℙ (k = x) = f (k; N, D, n) = \frac{(\binom{D}{k}) (\binom{N - D}{n - k})}{(\binom{N}{n})} .

Звідси в нашому прикладі (x = 4), отримаємо:

ℙ (k = 4) = f (4; 50, 5, 10) = \frac{(\binom{5}{4}) (\binom{45}{6})}{(\binom{50}{10})} = 0.003964583 \dots .

Таким чином, ймовірність витягнути рівно 4 білі кульки досить мала (приблизно 0.004). Це означає , що при проведенні експеримента (витягненні 10 кульок з урни з 50 кульками без повернення) 1000 раз ми розраховуємо отримати вищезазначений результат 4 рази. Що стосується ймовірності витягнути 5 білих кульок, то інтуїтивно зрозуміло, що вона буде менша, ніж імовірність витягнути 4 білі кульки. Давайте підрахуємо цю ймовірність.

	витягнуті	не витягнуті	всього
білі кульки	5 (k)	0 = 5 − 5 (D − k)	5 (D)
чорні кульки	5 = 10 − 5 (n − k)	40 = 50 + 5 − 10 − 5 (N + k − n − D)	45 (N − D)
всього	10 (n)	40 (N − n)	50 (N)

Таким чином, ми отримуємо ймовірність:

ℙ (k = 5) = f (5; 50, 5, 10) = \frac{(\binom{5}{5}) (\binom{45}{5})}{(\binom{50}{10})} = 0.0001189375 \dots,

Симетричність

f (k; N, D, n) = \frac{(\binom{D}{k}) (\binom{N - D}{n - k})}{(\binom{N}{n})} = f (n - k; N, N - D, n)

Ця симетричність стає зрозумілою, коли перефарбувати білі кульки в чорні й навпаки. Таким чином, білі й чорні кульки просто міняються ролями.

f (k; N, D, n) = f (k; N, n, D)

Ця симетричність стає зрозумілою, коли замість виймання ви позначаєте кульки, які б вийняли. Обидва вирази дають ймовірність того, що рівно $k$ кульок чорні й позначені як вийняті.

Зв'язок з іншими розподілами

Нехай $X \sim H G (m, N, n)$ та $p = m / N$ .

Якщо $n = 1$ , то $X$ має розподіл Бернуллі з параметром $p$ .

Нехай випадкова величина $Y$ має біноміальний розподіл з параметрами $n$ та $p$ ; вона моделює кількість успіхів в аналогічній задачі з поверненням. Коли $N$ та $m$ досить великі порівняно з $n$ , а також $p$ не є близьким до 0 чи 1 числом, тоді $X$ та $Y$ мають подібні розподіли, тобто $ℙ (X \leq k) \approx ℙ (Y \leq k)$ .

Якщо $n$ велике, $N$ та $m$ великі порівняно з $n$ , а $p$ не є близьким до 0 чи 1, то

$ℙ (X \leq k) \approx Φ (\frac{k - n p}{\sqrt{n p (1 - p)}}),$

де $Φ$ - функція розподілу стандартного нормального розподілу.

Якщо ймовірності витягнути білу чи чорну кулі не рівні між собою, (наприклад, внаслідок різної величини), то $X$ має нецентральний гіпергеометричний розподіл.

Джерела

Шаблон:Портал

Шаблон:Математика-доробити Шаблон:Бібліоінформація Шаблон:Список розподілів ймовірності

Гіпергеометричний розподіл

Зміст

Визначення

Моменти

Приклади застосування

Симетричність

Зв'язок з іншими розподілами

Джерела

Навігаційне меню

Гіпергеометричний розподіл

Визначення

Моменти

Приклади застосування

Симетричність

Зв'язок з іншими розподілами

Джерела

Навігаційне меню

Пошук