Локальна теорема Муавра — Лапласа

Локальна теорема Муавра — Лапласа описує наближення нормального розподілу до біноміального розподілу. Є окремим випадком центральної граничної теореми.

Теорема

Якщо $n\to \mathrm{\infty }$, тоді для k в $\sqrt{npq}$-околі точки np, існує наближення

$\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)p^k{q}^{n-k}\simeq \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}{e}^{-(k-np{)}^2/2npq},p+q=1,p>0,q>0.$

Гранична форма теореми стверджує, що

$\frac{\sqrt{2\pi npq}\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)p^k{q}^{n-k}}{e^{-(k-np{)}^2/2npq}}\to 1$

для $n\to \mathrm{\infty }.$

Додаток

Можливо, формулювання стає ясним не відразу, проте практичний зміст теореми простий: при великих значеннях n імовірність спостерігаючи рівно m успіхів можна приблизно розраховувати за формулою: $P({\mu }_n=m)\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}{e}^{-(m-np{)}^2/2npq}$

Якщо вас цікавить імовірність того, що число успіхів буде лежати в деяких межах - $P(m_1\le {\mu }_n\le m_2)$ - у розрахунках допомагає інтегральна теорема Муавра-Лапласа.

Див. також

• Центральна гранична теорема
• Теорема Пуассона

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко