Бікомплексні числа

таблиця множення

	i1	i2	j
i1	−1	j	−i2
i2	j	−1	-i1
j	−i2	-i1	1

Бікомплексні числа — чотиривимірні гіперкомплексні числа виду $a+b{i}_1+c{i}_2+dj,$ де

$a,b,c,d$ — дійсні числа,

$i_1,i_2,j$ — уявні одиниці.

для яких

$i_1^2=i_2^2=-1,j=i_1{i}_2$.

Використавши комутативність, отримаємо

$j^2=(i_1{i}_2{)}^2=i_1^2{i}_2^2=+1$

та

$i_{1}j=j{i}_1=-i_2,$

$i_{2}j=j{i}_2=-i_1.$

Бікомплексне число можна записати у вигляді $(a+b{i}_1)+(c+d{i}_1)i_2=A+B{i}_2,$ де

$A,B$— комплексні числа.

Історія

Насправді ж навпаки, в 1892 бікомплексні числа визначили за допомогою подвоєння комплексних чисел (замінивши їх дійсні частини на комплексні). Але на відміну від кватерніонів, вимагали збереження комутативності множення.

Хоча, дещо раніше в 1848, описали схожу алгебру тессарінів, вимагаючи тільки: комутативність, $i^2=-1,j^2=+1$.

Бікомплексні числа утворюють комутативне кільце, тобто, множення є асоціативним, комутативним та дистрибутивним відносно додавання.

Але не є тілом чи полем, оскільки мають дільники нуля.

Арифметичні операції

• $(A+B{i}_2)(C+D{i}_2)=(AC-BD)+(AD+BC)i_2$

Діагональний базис

В бікомплексних числах, як і в подвійних числах, присутня уявна одиниця $j^2=+1,$ отже, також існують два ортогональні ідемпотентні елементи:

$e_1=\frac{1+j}{2},e_2=\frac{1-j}{2}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{e}_1{e}_1=e_1\\ e_2{e}_2=e_2\\ e_1{e}_2=0\end{array},$

які можна використати як альтернативний базис. Бікомплексні числа переводяться в діагональний базис так:

$A+B{i}_2=(A-B{i}_1)e_1+(A+B{i}_1)e_2=(a+d+(b-c)i_1)e_1+(a-d+(b+c)i_1)e_2=\tilde{A}{e}_1+\tilde{B}{e}_2$

У даному базисі додавання, множення та ділення обчислюються покомпонентно. Ділення не визначене коли $\tilde{A}$ чи $\tilde{B}$ рівні нулю.

Див. також

• тессаріни

Джерела

• Шаблон:Кантор.Солодовников