Адитивна енергія

Адити́вна ене́ргія — чисельна характеристика підмножини групи, що ілюструє структурованість множини відносно групової операції. Термін увели Теренс Тао та Шаблон:Нп.

Визначення

Нехай $(G,+)$ — група.

Адитивна енергія множин $A\subset G$ і $B\subset G$ позначається як $E_{+}(A,B)$ і дорівнює кількості розв'язків такого рівняння:

$a_1+b_1=a_2+b_2(a_1,a_2\in A,b_1,b_2\in B)$

Шаблон:ЯкірАналогічно можна визначити мультиплікати́вну ене́ргію (наприклад, у кільці) як кількість $E_{\times }(A,B)$ розв'язків рівняння:

$a_1{b}_1=a_2{b}_2(a_1,a_2\in A,b_1,b_2\in B)$

Екстремальні значення

Найменшого значення $E_{+}(A,B)$ досягає, коли всі суми $a+b(a\in A,b\in B)$ різні (оскільки тоді рівність виконується тільки за $\{a_1,b_1\}=\{a_2,b_2\}$) — наприклад, коли $A=B$ і $A$ — множина різних твірних групи $G$ з якоїсь мінімальної породжувальної множини. Тоді $E(A,A)=\frac{|A{|}^2+|A|}{2}$.

Найбільшого значення $E_{+}(A,B)$ досягає, коли $A=B$ і $A$ є підгрупою $G$. У цьому випадку для будь-якого $x\in A$ число розв'язків рівняння $a+b=x(a,b\in A)$ дорівнює $|A|$, так що $E_{+}(A,A)=|A{|}^3$.

Відповідно, проміжні величини порядку зростання $E_{+}(A,A)$ між $|A{|}^2$ і $|A{|}^3$ можна розглядати як більший чи менший показник близькості структури $A$ до структури підгрупи. Для деяких груп $G$ визначені обмеження на адитиву енергію дозволяють доводити структурні теореми про існування досить великих підгруп $G$ всередині $A$ (або якоїсь похідної від неї множини) і про вкладаність $A$ (або якоїсь похідної від неї множини) в досить маленькі підгрупи $G$. Обмеження на $G$ для цих теорем пов'язані з показником скруту групи $G$ та окремих її твірних. Однак для циклічних груп та груп без скруту існують аналогічні теореми, які розглядають замість підгруп узагальнені арифметичні прогресії .

$E_{+}(A,B)=E_{+}(A,-B)=E_{-}(A,B)$

$E_{+}(A,B)|A+B|\ge |A{|}^2|B{|}^2$, де $A+B=\left\{a+b:a\in A,b\in B\right\}$

Для кільця лишків за простим модулем $G={𝔽}_p$ адитивну енергію можна виразити через тригонометричні суми. Позначимо $e_p(k)=e^{2\pi \frac{k}{p}i}$. Тоді

$E_{+}(A,B)=\frac{1}{p}\sum _{t=0}^{p-1}{\left|\sum _{a\in A}{e}_p(ta)\right|}^2{\left|\sum _{b\in B}{e}_p(tb)\right|}^2$

Застосування

Адитивну та мультиплікативну енергії використовують у адитивній та арифметичній комбінаториці для аналізу комбінаторних сум та добутків множин $A+B=\left\{a+b:A+B\right\}$, зокрема, для доведення теореми сум-добутків.

Старші енергії

Існують два основних узагальнення рівняння, яке визначає адитивну енергію, — за кількістю доданків та за кількістю рівностей:

$E_k(A)=\mathrm{\#}\left\{a_1-b_1=a_2-b_2=\dots =a_k-b_k:a_i,b_i\in A\right\}=\sum _s|A\cap (A+s){|}^k$

$T_k(A)=\mathrm{\#}\left\{\sum _{i=1}^k{x}_i=\sum _{i=1}^k{y}_i:x_i,y_i\in A\right\}$

Їх називають старшими енергіямиШаблон:Sfn й іноді можна отримати їх оцінки, не отримуючи оцінок звичайної адитивної енергіїШаблон:Sfn. Разом з тим, нерівність Гельдера дозволяє (із значним погіршенням) оцінювати звичайну енергію через старші.

Для параметра $k$ в $E_k$ іноді розглядаються і дійсні, а не лише цілі числа (просто підстановкою в останній вираз)Шаблон:Sfn.

Див. також

• Теорема сум-добутків
• Структурна теорема Чанг

Література

• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття